On the spectrum of the Thue-Morse quasicrystal and the rarefaction phenomenon

Abstract

On explore le spectre d'un peigne de Dirac pondéré supporté par le quasicristal de Thue-Morse, et on le caractérise à un ensemble de mesure nulle près, au moyen de la Conjecture de Bombieri-Taylor, pour les pics de Bragg, et d'une autre conjecture que l'on appelle Conjecture de Aubry-Godrèche-Luck, pour la composante singulière continue. La décomposition de la transformée de Fourier du peigne de Dirac pondéré est obtenue dans le cadre de la théorie des distributions tempérées. Nous montrons que l'asymptotique de l'arithmetique des sommes p-raréfiées de Thue-Morse (Dumont; Goldstein, Kelly and Speer; Grabner; Drmota and Skalba,...), précisément les fonctions fractales des sommes de chiffres, jouent un rôle fondamental dans la description de la composante singulière continue du spectre, combinées à des résultats classiques sur les produits de Riesz de Peyrière et de M. Queffélec. Les lois d'échelle dominantes des suites de mesures approximantes sont contrôlées sur une partie de la composante singulière continue par certaines inégalités dans lesquelles le nombre de classes de diviseurs et le régulateur de corps quadratiques réels interviennent.

The singular continuous diffraction measure of the Thue–Morse chain

“…By construction, η is a positive definite function on Z, wherefore the Herglotz-Bochner theorem [8, Thm. I.7.6] guarantees the existence of a finite positive measure ν on [0, 1) with (5) η(m) = 1 0 e 2πimy dν (y).…”

“…Therefore, it is somewhat misleading to show a density for the Thue-Morse measure, as is often found in the literature. Still, it may be instructive to inspect the sequence of densities f n in order to get some intuition on the singular nature of the Thue-Morse measure, or to study some of its scaling properties; see [5] and references therein.…”

Real Space Structure Factor for Different Quasicrystals

“…Thanks to the reference lattice concept and calculations as above, the general rules (with respect to the classes defined by ref. 25 with s , the smallest positive integer satisfying the equation: 2 s mod m = 1) for intensity scaling exponents could be formulated, which are compatible to those found in mathematical considerations 26. They are listed in Table 3.…”

Winding Numbers and Topology of Aperiodic Tilings

“…Experimentally measured in [43], diffraction peaks were announced to be located at k/k 0 = 1 3 m/2 N . A different formula k/k 0 = 1 p m/2 N was reported by [5,44,45] (p odd), [46] (p prime), [47] (p = 2 n − 1), and [48] (various p with positive scaling exponents). On top of that, Thue-Morse admits Bragg diffraction for k b /k 0 = m, m + 1 2 for m ∈ Z [47].…”