On the Root-class Residuality of HNN-extensions of Groups

Abstract

получена 25 июня 2014Ключевые слова: HNN-расширение, корневой класс групп, аппроксимируемость корневыми классами группПусть K произвольный корневой класс групп (это означает, что K со-держит хотя бы одну неединичную группу, замкнут относительно взятия под-групп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетво-ряет условию Грюнберга: если 1 Z Y X субнормальный ряд груп-пы X такой, что фактор-группы X/Y и Y /Z принадлежат классу K, то в груп-пе X существует нормальная подгруппа T такая, что T ⊆ Z и фактор-груп-па X/T принадлежит классу K). В данной статье исследуются условия ап-проксимируемости классом K (K-аппроксимируемости) частного случая общей конструкции HNN-расширения, когда связанные подгруппы совпадают. Пусть G = (B, t; t −1 Ht = H, ϕ). В случае, когда B ∈ K и подгруппа H нормаль-на в группе B, автором получено достаточное условие K-аппроксимируемости группы G, которое становится и необходимым, если класс K замкнут относи-тельно факторизации (т. е. взятия гомоморфных образов). Также установлены критерии K-аппроксимируемости группы G при условии, что класс K замкнут относительно факторизации, группа B K-аппроксимируема, а подгруппа H нормальна в группе B и удовлетворяет хотя бы одному из следующих ограни-чений: группа Aut G (H) всех автоморфизмов подгруппы H, представляющих собой ограничения на эту подгруппу всевозможных внутренних автоморфиз-мов группы G, является абелевой; группа Aut G (H) конечна; автоморфизм ϕ совпадает с ограничением на подгруппу H некоторого внутреннего автомор-физма группы B; подгруппа H конечна; подгруппа H является бесконечной циклической; подгруппа H имеет конечный ранг Гирша-Зайцева (т. е. обла-дает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является ли-бо периодической, либо бесконечной циклической группой). Кроме того, най-дено достаточное условие K-аппроксимируемости группы G в случае, когда группа B K-аппроксимируема, а подгруппа H является ее ретрактом (в этом утверждении класс K не обязан быть замкнутым относительно факторизации).

Root class residuality of HNN-extensions with central cyclic associated subgroups

“…The papers [3,7] are the starting point for these studies, the latest results obtained in this area can be found in [19-21, 24-27, 31, 32]. The root-class residuality of HNN-extensions is studied in [6,23,24,[28][29][30]32]. These papers deal mainly with the cases when the associated subgroups coincide or intersect trivially.…”

“…This number is called the length of g and is denoted in this paper by |g|. The following proposition is a generalization of Theorem 4.2 from [4] and is partially proved in [29].…”

On the root-class residuality of generalized free products with a normal amalgamation

“…The root-class residuality of other free entities (generalized free products, HNN-extensions) was studied in [2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12]. Other properties of root classes of groups were considered in [12][13][14][15].…”