On the Origin of Symbolic Mathematics and Its Significance for Wittgenstein’s Thought

Abstract

The main topic of this essay is symbolic mathematics or the method of symbolic construction, which I trace to the end of the sixteenth century when Franciscus Vieta invented the algebraic symbolism and started to use the word ‘symbolic’ in the relevant, non-ontological sense. This approach has played an important role for many of the great inventions in modern mathematics such as the introduction of the decimal place-value system of numeration, Descartes’ analytic geometry, and Leibniz’s infinitesimal calculus. It was also central for the rigorization movement in mathematics in the late nineteenth century, as well as for the mathematics of modern physics in the 20th century.However, the nature of symbolic mathematics has been concealed and confused due to the strong influence of the heritage from the Euclidean and Aristotelian traditions. This essay sheds some light on what has been concealed by approaching some of the crucial issues from a historical perspective. Furthermore, I argue that the conception of modern mathematics as symbolic mathematics was essential to Wittgenstein’s approach to the foundations and nature of mathematics. This connection between Wittgenstein’s thought and symbolic mathematics provides the resources for countering the still prevalent view that he defended an uttrely idiosyncratic conception, disconnected from the progress of serious science. Instead, his project can be seen as clarifying ideas that have been crucial to the development of mathematics since early modernity.

Aritmética e conhecimento simbólico: notas sobre o Tractatus Logico-Philosophicus e o ensino de filosofia da matemática

“…observações tractarianas sobre a aritmética merecem ser consideradas em suas especificidades, como saliências que permitem melhor posicionar o filósofo quando jovem no contexto logicista. Para tanto, além desta abertura, compus este texto em três partes: na primeira, ofereço o contexto interno aos estudos wittgensteinianos a partir do qual, via trabalhos de Sören Stenlund (2012Stenlund ( , 2013Stenlund ( , 2014Stenlund ( , 2015, valido a estratégia de traçar conexões entre Leibniz e o jovem Wittgenstein no que diz respeito à matemática, apresentando também a noção de conhecimento simbólico leibniziano por meio de ideias de Oscar Miguel Esquisabel (2012) e Abel Lassalle Casanave (2012). Na segunda parte, desdobrando o que fizemos em trabalhos conjuntos anteriores, (Secco & Noguez 2017), forneço uma comparação entre os principais traços da noção leibniziana de conhecimento simbólico e algumas passagens tractarianas sobre a aritmética.…”

“…Embora sejam por vezes reconhecidas, as semelhanças entre o tratado de juventude de Wittgenstein e a extraordinária obra de Leibniz, 8 no que tange às suas perspectivas acerca da matemática, não tem sido objeto de muitos estudos por parte dos especialistas na obra do vienense. Significativa exceção se encontra na série de trabalhos em que Sören Stenlund (2012Stenlund ( , 2013Stenlund ( , 2014Stenlund ( , 2015 se dedicou a pensar as especificidades das observações de Wittgenstein sobre a matemática através da vinculação com o que chamou de "matemática simbólica" ou "matemática moderna":…”

“…Hertz' work on the mathematics of classical mechanics, in which Hertz showed how to deal with conceptual problems connected, for instance, with the notion of force of classical mechanics, was an important and influential contribution to the symbolic point of view. (STENLUND 2013, pp.21-22, meus itálicos) 10 Já em trabalhos posteriores, embora ainda considere a filosofia tractariana da matemática como representante do ponto de vista simbólico e mantenha que não se trata de uma influência direta, Stenlund (2014Stenlund ( , 2015 modo leibniziano de conceber o pensamento simbólico strictu sensu. Recorrendo a alguns elementos da noção leibniziana de conhecimento simbólico tal como analisados em um ensaio de Oscar Miguel Esquisabel (2012), o filósofo sueco sublinha com ainda mais força a importância dada por Wittgenstein ao aspecto operacional ou acional da matemática.…”

“…Ressonância que também encontrada em Hilbert e Bernays, como mostra LassalleCasanave (2016, p. 229 ssq). Uma crítica da triangulação Leibniz-Hilbert-Wittgenstein, tematizada emStenlund (2015), ainda está para ser elaborada. Tardo talvez em marcar o reconhecimento de que é possível também traçar um triângulo Leibniz-Russell-Wittgenstein, senão linhas de influência ou recepção direta (aqui se trata mais de um exercício de história das ideias), de linhas de conexão que ajudariam a percorrer melhor outras passagens do Tractatus; tratar-se-ia nesse caso de outra entrada no labirinto.…”

Dewey and mathematical practice: revisiting the distinction between procedural and conceptual knowledge

“…A symbolism is not merely a system of notation in the typographical or linguistic sense, but is connected to the mathematical activity itself. It is the operational aspect of a symbol, its function in a calculus, its role in the manipulation and transformation of expressions, which can be said to constitute it as a symbol (Stenlund, 2015). Dewey's logical aspect of mathematics can thus be identified as the symbolic conception of mathematics: to master the logical aspect is to master a symbolic calculus.…”