On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices

Abstract

ABSTRACT.A model operator H associated to a system of three-particles on the three dimensional lattice Z 3 and interacting via pair non-local potentials is studied. The following results are proven: (i) the operator H has infinitely many eigenvalues lying below the bottom of the essential spectrum and accumulating at this point, in the case, where both Friedrichs model operators hµ α (0), α = 1, 2, have threshold resonances. (ii) the operator H has a finite number of eigenvalues lying outside of the essential spectrum, in the case, where at least one of hµ α (0), α = 1, 2, has a threshold eigenvalue.

О Существенном И Дискретном Спектрах Трехчастичного Оператора Шредингера На Решетке

“…Операторы Шредингера вида (1), ассоциированные с системой трех частиц на трехмерной решетке Z 3 , изучены в работах [23], [24]. В работе [23] получены до-статочные условия конечности и бесконечности дискретного спектра при σ ess (H) = σ(H 0 ), т. е. в случае, когда существенный спектр данного гамильтониана не меняется при заданном возмущении. В работе [24] доказано существование эффекта Ефимо-ва в модели (1), причем нижняя грань существенного спектра гамильтониана H равняется нулю (т. е. σ ess (H) = σ(H 0 )).…”

Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трeхчастичного модельного оператора

“…Заметим, что существенный и дискретный спектры, а также уравнение Фаддеева симметричного и несимметричного вариантов модельного операто-ра H изучены в работах [5][6][7] в случае, когда V α (определённый ниже) явля-ется частичным интегральным оператором с вырожденным ядром. В данной работе изучается случай, когда оператор V α является частичным интеграль-ным оператором с невырожденным ядром.…”

О существенном спектре одного модельного оператора, ассоциированного с системой трeх частиц на решeтке

“…например [1][2][3]. Системы трёх частиц на решётке были рассмотрены в работах [4][5][6][7] и исследован их существенный спектр. В частности, в работе [5] доказано, что существенный спектр трёхчастичного оператора Шрёдингера на решётке со-стоит из объединения не более чем конечного числа отрезков, даже в том случае, когда соответствующий двухчастичный оператор Шрёдингера на ре-шётке имеет бесконечное число собственных значений.…”

“…Поэтому в решётчатом случае необходимо изучать ветви существенного спектра по обе стороны трёхчастичной ветви, от которого зависит существование двусторон-него эффекта Ефимова. В работах [4][5][6][7][8] доказано, что решётчатые операторы не имеют частей существенного и дискретного спектра правее трёхчастичной ветви. В этих работах изучение расположения существенного спектра основа-но на монотонности определителя Фредгольма модели Фридрихса.…”

“…3), обратное включение σ ess (H) ⊂ σ two (H)∪σ three (H) следует из общей теории Фредгольма [1] (см. также [6,7,9]). В силу леммы 2.2 для любого p ∈ T 3 оператор h(p) имеет не более чем одно простое собственное значение, лежащее левее m и правее M .…”