On The Number of Conjugacy Classes of a Finite Solvable Group

Abstract

We prove that a finite solvable group whose order is divisible by a prime p has at least 2 p − 1 conjugacy classes.

A lower bound for the number of conjugacy classes of a finite group

“…Theorem 2.1 has implicitly been proved in [7] in case G is solvable, without a consideration of when equality can occur.…”

“…Motivated by this observation Pyber asked various questions concerning lower bounds for k(G) in terms of the prime divisors of |G|. In response to these questions (and motivated by trying to find explicit lower bounds for the number of complex irreducible characters in a block) L. Héthelyi and B. Külshammer obtained various results [7], [8] for solvable groups. For example they proved in [7] that every solvable finite group G whose order is divisible by p has at least 2 √ p − 1 conjugacy classes.…”

“…In response to these questions (and motivated by trying to find explicit lower bounds for the number of complex irreducible characters in a block) L. Héthelyi and B. Külshammer obtained various results [7], [8] for solvable groups. For example they proved in [7] that every solvable finite group G whose order is divisible by p has at least 2 √ p − 1 conjugacy classes. Later G. Malle [16,Section 2] showed that if G is a minimal counterexample to the inequality k(G) ≥ 2 √ p − 1 with p dividing |G| then G has the form HV where V is an irreducible faithful H-module for a finite group H with (|H|, |V |) = 1 where p is the prime dividing |V |.…”

Fast-einfache Gruppen mit langen Bahnen in absolut irreduzibler Operation

“…In diesem Abschnitt untersuchen wir die mögliche Struktur endlicher Gruppen mit wenigen Konjugiertenklassen im Sinne von [9]. Sei dazu G ein minimales Gegenbeispiel zu der Aussage: Somit bleibt für ein minimales Gegenbeispiel zu ( * ) nur der Fall, dass G/N irreduzibel auf dem F p -Modul N operiert.…”

“…Diese Arbeit ist motiviert durch das Resultat von Héthelyi und Külshammer [9], dass eine endliche auflösbare Gruppe mit durch die Primzahl p teilbarer Ordnung mindestens 2 √ p − 1 Konjugiertenklassen (also auch mindestens ebensoviele irreduzible Charaktere) besitzt. Eine einfache Überlegung zeigt, dass ein minimales Gegenbeispiel H zu der analogen Aussage für beliebige endliche Gruppen einen eindeutig bestimmten Normalteiler dass N ein direktes Produkt nicht-abelsch einfacher Gruppen ist, lässt sich mit der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen ausschließen (siehe Satz 2.1), so dass die Situation verbleibt, in der die p -Gruppe G koprim und irreduzibel auf dem F p -Vektorraum N operiert.…”