On the local spectral properties of weighted shift operators

Abstract

Abstract. We study the local spectral properties of both unilateral and bilateral weighted shift operators.

Sur la théorie spectrale locale des shifts à poidsopérateurs

“…Rappelons que S α est un shift unilateral, de poids (α n ) n≥0 , si S α e n = α n e n+1 , ∀n ≥ 0, (1. 4) où (e n ) n≥0 est une base orthonormale de H. Dans le cas d'un shiftà poids scalaires S α de poids (α n ) n , nous utiliserons les notations adoptées par [15] : Soit (β(n)) n la suite définie par…”

“…L'étude de la théorie spectrale locale des opérateurs shiftsà poids scalaires a fait l'objet de plusieurs travaux, on cite par exemple les références [4,13,14,16,17]. Cependant, il apparaît qu'aucuneétude satisfaisante des propriétés spectrales locales d'un shiftà poids opérateurs n'est encore faite.…”

“…Dans la proposition suivante, nous donnerons une condition nécessaire pour qu'un shiftà poids unilatéral injectif satisfasse la propriété de Dunford (C). Ce résultat est obtenu aussi par [4,14], mais ici on donne une démonstration directe.…”

Local Spectra of Unilateral Operator Weighted Shifts

“…Moreover, several known results for the scalar case have been generalized and extended to the setting of operator weighted shifts. However, the question of determining the local spectral properties for operator weighted shifts is natural and the investigation of these properties for scalar weighted shifts has been studied recently in [6] and [24]. The main goal of the present note is to study and examine whether or not the results obtained in [6,24] remain valid for unilateral operator weighted shifts.…”

“…However, the question of determining the local spectral properties for operator weighted shifts is natural and the investigation of these properties for scalar weighted shifts has been studied recently in [6] and [24]. The main goal of the present note is to study and examine whether or not the results obtained in [6,24] remain valid for unilateral operator weighted shifts. We give necessary conditions for a unilateral operator weighted shift to satisfy Dunford's condition (C) or Bishop's property (β).…”