On the Kurosh rank of the intersection of subgroups in free products of groups

Abstract

The Kurosh rank r K (H ) of a subgroup H of a free product * α∈I G α of groups G α , α ∈ I , is defined accordingly to the classic Kurosh subgroup theorem as the number of free factors of H . We prove that if H 1 , H 2 are subgroups of * α∈I G α and H 1 , H 2 have finite Kurosh rank, thenr K (H 1 ∩ H 2 ) 2 q * q * −2r K (H 1 )r K (H 2 ) 6r K (H 1 )r K (H 2 ), wherer K (H ) = max(r K (H ) − 1, 0), q * is the minimum of orders > 2 of finite subgroups of groups G α , α ∈ I , q * := ∞ if there are no such subgroups, and q * q * −2 := 1 if q * = ∞. In particular, if the factors G α , α ∈ I , are torsion-free groups, thenr K (H 1 ∩H 2 ) 2r K (H 1 )r K (H 2 ).

Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture

“…For previous results related to HNC the reader is referred to Burns [1], Imrich [8], Servatius [19], Stallings [21], Gersten [7], Nickolas [18], Walter Neumann [17], Feuerman [5], Tardos [22], Dicks [2], Dicks-Formanek [3], Khan [11], Meakin-Weil [13], Sergei Ivanov [9], [10], and Dicks-Ivanov [4]. A proof of SHNC has also been announced in a recent preprint by Joel Friedman [6].…”

Оценка Ранга Пересечения Подгрупп В Свободном Произведении Двух Групп С Объединенной Нормальной Конечной Подгруппой

“…Далее, в 1957 г. Х. Нейман в статье [2] доказала следующую оценку для ранга пересечения подгрупп в свободной группе (неравенство Х. Нейман): r(H 1 ∩ H 2 ) 2r(H 1 )r(H 2 ), (1.1) где r(H) = max(0, r(H) − 1) -редуцированный ранг подгруппы H. С. В. Иванов и У. Дикс в статьях [3]- [5] обобщили эти результаты на случай, когда G -свободное произведение групп. Будем называть свободное произ-ведение двух групп нетривиальным, если оба его сомножителя нетривиальны.…”

“…Поскольку H 1 и H 2 тривиально пересекаются с сопря-женными к сомножителями, они, в частности, тривиально пересекаются с объ-единенной подгруппой, поэтому Для доказательства неулучшаемости оценки теоремы 2 нам понадобится конструкция графа подгруппы в свободном произведении групп. Эта конструк-ция использовалась также в статьях [3], [5], [9], [10]. Здесь мы приведем основ-ные сведения о графе подгруппы в необходимом нам случае.…”

“…Полное доказательство приведено в [3] и опирается на тот факт, что фундаментальная группа графа Ψ(H) свободно порождается пу-тями вида (3.2). Формула (3.4) следует из того, что…”

A property of groups and the Cauchy–Davenport theorem

“…In this article, we pursue the direction of research in the articles [8], [14], [15], [16] inspired by the Hanna Neumann conjecture. We introduce an abstract property Cðd; KÞ of groups, which could be regarded as a broad generalization of the Cauchy-Davenport inequality (1), that was discovered by Cauchy [5] in 1813, and, independently, by Davenport [6] in 1935, and which may be of independent interest in group theory and in number theory.…”