On the Hopf algebra structure of the Lusztig quantum divided power algebras

Abstract

We study the Hopf algebra structure of Lusztig's quantum groups. First we show that the zero part is the tensor product of the group algebra of a finite abelian group with the enveloping algebra of an abelian Lie algebra. Second we build them from the plus, minus and zero parts by means of suitable actions and coactions within the formalism presented by Sommerhäuser to describe triangular decompositions. Sur la structure d'algèbre de Hopf des algèbres de puissances divisées quantiques de Lusztig Résumé Nous étudions la structure d'algèbre de Hopf des groupes quantiques de Lusztig.Tout d'abord, nous montrons que la partie zéro est le produit tensoriel de l'algèbre de groupe d'un groupe abélien fini avec l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie abélienne. Ensuite, nous les construisons à partir des parties plus, moins et zéro au moyen d'actions et de coactions appropriées par le formalisme de Sommerhäuser pour décrire des décompositions triangulaires.