On the H p -Problem for Finite p-Groups

Hogan, Guy T.; Kappe, Wolfgang P.

doi:10.2307/2035675

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“…Se T ~ un p-gruppo 6 Hp(T) ~ T. [26], [29], [14] segue che T 6 un p-gruppo di esponente p nei seguenti casi: …”

Section: Ap Strutture Finite Con Dilatazioniunclassified

Strutture Di Andre Eds-Spazi Con Traslazioni

Biliotti

1981

Geom Dedicata

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In this note we consider finite Andr6 structures possessing a sufficiently large number of translations. Results are obtained on the structure of the dilatation group and the group generated by central translations. The case of Sperner space is examined in detail. INTRODUZIONELe strutture affini con parallelismo di J. Andr6 [1] (a.p.strutture) ed una loro specializzazione, gli spazi affini deboli di E. Sperner [25] (S-spazi), sono state studiate, sotto vari aspetti, da numerosi autori. Questa nota 6 dedicata allo studio di a.p.strutture con un numero finito di punti, dotate di un gruppo, sufficientemente ampio, di traslazioni (traslazione = automorfismo identico o privo di punti fissi e tale che rette corrispondenti siano parallele). In questo ambito, se si eccettuano i lavori di J. Andr6 [3] e [4], dedicati ad a.p.strutture con traslazioni tutte centrali (per la terminologia, ora e nel seguito, si veda it w 1), la maggiore attenzione ~ stata sinora rivolta alle a.p.strutture con un gruppo T di traslazioni transitivo sull'insieme dei punti (a.p.strutture di traslazione), ci6 anche per la stretta connessione esistente frail concetto geometrico di a.p.struttura di traslazione e quello algebrico di partizione di un gruppo. Si vedano, fra gli altri, i lavori di J. Andr6 [1], [2], R.H. Schulz [23], W. Seier [24], M. Biliotti [9], nei quali il caso maggiormente studiato quello in cui T sia abeliano. I1 w 2 contiene alcuni risultati, gi~t in parte noti (J. Andr6 [1 ], [4]), i quali mostrano come lo studio delle a.p.strutture di traslazione possa fornire un notevole contributo anche allo studio delle a.p.strutture che, senza essere di traslazione, posseggano (abbastanza) traslazioni. I1 gruppo delle dilatazioni di tali a.p.strutture risulta infatti isomorfo ad un sottogruppo del gruppo delle dilatazioni di una certa a.p.struttura di traslazione in esse immersa. I1 w 3 riprende lo studio delle a.p.strutture di traslazione (finite). Facendo uso dei risultati assai avanzati della teoria delle partizioni dei gruppi finiti si esaminano le relazioni intercorrenti fra la struttura del gruppo T e l'esistenza nell'a.p.struttura di dilatazioni proprie e di traslazioni centrali in una o piCa direzioni. I risultati ottenuti sono espressi dai Teoremi 3.2 e 3.3 e dalla Proposizione 3.1. I1 w 4 6 dedicato agli S-spazi dotati di un gruppo T di traslazioni transitivo su un fascio di rette parallele, oppure tale che TR ~ (I) per ogni retta R dell'S-spazio. Si ottengono risultati sia sull'ordine dell'S-spazio che sulla struttura del gruppo T. L'indagine 6 anche in questo caso condotta facendo sostanziale ricorso ai risultati sulle partizioni dei gruppi finiti.

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“…Se T ~ un p-gruppo 6 Hp(T) ~ T. [26], [29], [14] segue che T 6 un p-gruppo di esponente p nei seguenti casi: …”

Section: Ap Strutture Finite Con Dilatazioniunclassified

Strutture Di Andre Eds-Spazi Con Traslazioni

Biliotti

1981

Geom Dedicata

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“…The conjecture was proved for metabelian groups in 1969 by Hogan and Kappe [8] and for groups with nilpotency class less than 2p − 1 in 1971 by Macdonald [19] (who earlier [18] showed the same for 2-generator groups with class less than 2p). But these results followed the discovery of the first counterexamples.…”

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confidence: 93%

On counterexamples to the Hughes conjecture

Havas

Vaughan-Lee

2009

Journal of Algebra

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described counterexamples for p = 5, 7 and 11. Finite groups which do not satisfy the conjecture, anti-Hughes groups, have interesting properties. We give explicit constructions of a number of antiHughes groups via power-commutator presentations, including relatively small examples with orders 5 46 and 7 66 . It is expected that the conjecture is false for all primes larger than 3. We show that it is false for p = 13, 17 and 19.

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“…In this paper it is shown that if G is a finite p-group and certain central factors of G are cyclic or if the normal subgroups of G of a certain order are two generated, then the Hughes conjecture is true for G. and therefore G/Z,_2 is an ECF-group of exponent p and class c-p+2. Since Hogan and Kappe [4] have shown that an ECF-group of exponent p has class at mostp, it follows that c_ 2p -2 and the result of Macdonald [9] gives a contradiction.…”

mentioning

confidence: 97%

“…Let G be a group and H2,(G) the subgroup of G generated by the elements of order different from p. Hughes [6] conjectured that if G>H2,(G)>1, then IG:H2,(G)I=p. Although Wall [11] has shown the conjecture is false for p=5, the conjecture is true in the following cases: p=2 [5], p = 3 [10], regular p-groups [4], finite groups which are not p-groups [7], finite metabelian p-groups [4] (see also [9, p. 42]), finite p-groups with class at most 2p-2 [9], finite p-groups with the property that every 3-generated subgroup has class at most p [3] and finite p-groups with cyclic lower central factors [4]. In this paper it is shown that if G is a finite p-group and certain central factors of G are cyclic or if the normal subgroups of G of a certain order are two generated, then the Hughes conjecture is true for G. and therefore G/Z,_2 is an ECF-group of exponent p and class c-p+2.…”

mentioning

confidence: 99%

The H p -Problem for Groups with Certain Central Factors Cyclic

Gallian¹

1974

Proceedings of the American Mathematical Society

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On the H p -Problem for Finite p-Groups

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Strutture Di Andre Eds-Spazi Con Traslazioni

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On counterexamples to the Hughes conjecture

The H p -Problem for Groups with Certain Central Factors Cyclic

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