On the generation of discrete and topological Kac–Moody groups

Abstract

Presented by the Editorial BoardThis article shows that discrete or topological Kac-Moody groups defined over finite fields are in many cases 2-generated. We provide explicit bounds on the minimal number of generators for arbitrary Kac-Moody groups.© 2015 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. r é s u m é On montre que les groupes de Kac-Moody topologiques ou discrets définis sur des corps finis sont 2-engendrés dans de nombreux cas. On exhibe ensuite des bornes explicites sur le nombre minimal de générateurs pour un groupe de Kac-Moody arbitraire.On considère des groupes de Kac-Moody sur des corps finis F q . Théorème 0.1. Soit G = G(q) un groupe de Kac-Moody simplement connexe de rang m correspondant à une matrice de Cartan généralisée indécomposable (MCGI) A, défini sur un corps fini F q , q = p a . Soit π = {α 1 , . . . , α m } l'ensemble des racines simples de G et soit le diagramme de Dynkin de G dont les sommets sont numérotées par α 1 , . . . , α m . Posons que, pour tout sous-ensembleminimal d'éléments de G nécessaires pour générer G. Alors lorsque q est suffisamment grand, on a :dans au moins 34 des 72 cas) à part peut-être dans trois cas exceptionnels de rang 3 et pour lesquels est de type (∞, ∞, ∞). Dans ces trois cas, d(G) ≤ 4 ; E-mail address: I.Capdeboscq@warwick.ac.uk. http://dx.(v) supposons que π peut être découpé en k sous-ensembles mutuellement disjoints π i , 1 ≤ i ≤ k, tels que π i = {α i 1 , . . . , α i l(i) } avec α i j ∈ π , 1 ≤ j ≤ l(i) (où l(i) = |π i |) et que pour chaque i ∈ {1, . . . , k − 1}, on a (π i ) = s(i) j=1 ij où ij est un diagramme de Dynkin irréductible de type fini (ce qui signifie que (π i ) peut être découpé en s(i) diagrammes de Dynkin de type fini où s(i) ∈ N dépend de π i ). Alors : (a) si (π k ) = r j=1 kj où kj est un diagramme de Dynkin irréductible de type fini, alors d(G) ≤ 2k ; (b) si (π k ) = r j=1 kj où kj est un diagramme de Dynkin irréductible de rang 2 de type infini, alors d(G) ≤ 2k + 2, et, si q est assez grand, d(G) ≤ 2k + 1. Exemple 1. Si est un arbre enraciné fini de profondeur m, d(G) ≤ 4 lorsque q ≥ √ m. Corollaire 0.2. Soit G un groupe de Kac-Moody minimal défini sur un corps F q , avec q = p a et p ≥ max i = j |a ij | (où A = (a ij ) est la MCGI de G). Soit G le groupe de Kac-Moody topologique correspondant à G. Alors les conclusions du Théorème 0.1 sont vraies si on remplace G par G et si d(G) représente le nombre minimal de générateurs topologiques de G.