On the Existence of Solutions of the Cauchy Problem for a Doubly Nonlinear Parabolic Equation

Super and ultracontractive bounds for doubly nonlinear evolution equations

“…For a proof of existence for a wider class of equations and initial data see [5], [23]. Our aim here is to consider, on an open connected domain M ⊂ R n , the doubly nonlinear evolution equation in the general degenerate casė…”

Об Условиях Мгновенной Компактификации Носителя Решения И О Точных Оценках Носителя В Задаче Коши Для Параболического Уравнения С Двойной Нелинейностью И Абсорбцией

“…Настоящая работа посвящена изучению этого явления для задачи (1.1), (1.2) и получению точных по порядку оценок размеров носителя слабого решения указанной задачи. Из работ [10], [11] следует, что задача (1.1), (1.2) при заданном соотношении параметров (1.3) разрешима для начальных функций из L 1,loc (R N ) или для начальных данных, являющихся локально конечными радоновскими мерами, не слишком растущими на бесконечности. А именно, пусть для R > 0 |||u 0 ||| R,x0 ≡ sup а интеграл по B ρ (x 0 ) от модуля начальной функции для функции, представ-ляющей собой радоновскую меру, означает полную вариацию этой меры по шару B ρ (x 0 ).…”

“…А именно, пусть для R > 0 |||u 0 ||| R,x0 ≡ sup а интеграл по B ρ (x 0 ) от модуля начальной функции для функции, представ-ляющей собой радоновскую меру, означает полную вариацию этой меры по шару B ρ (x 0 ). Тогда известно [10], [11], что на некотором интервале времени [0, T ] для решения задачи (1.1), (1.2) справедлива оценка |||u(x, t)||| R,x0 C|||u 0 ||| R,x0 .…”

“…(1.6) Здесь и всюду далее через C, b, γ обозначены абсолютные константы либо константы, зависящие только от заданных параметров N , p, r, β. Из результатов работ [10], [11] также следует, что слабое решение зада-чи локально ограничено при t > 0 и, кроме того, u xi ∈ L p,loc (R N × (0, T )). Это, в частности, означает, что тождество (1.4) справедливо для финитных по x пробных функций η(x, t) ∈ L p,loc ((0, T ), W 1 p,loc (R N )).…”

“…Поэтому далее при доказательстве оценки снизу (1.20) размеров носителя решения мы считаем наше решение тем слабым решением, которое является пределом решений с гладкими финитными начальными данными. Отметим, что именно так и получается слабое решение в работах [10], [11].…”