On the Existence and Uniqueness of Poincaré Maps for Systems With Impulse Effects

Goodman, Jacob R.; Colombo, Leonardo

doi:10.1109/tac.2019.2941446

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“…Similar results for simple hybrid (non-Routhian) systems concerning the existence of periodic solutions can be found in [8] and [14]. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of Poincaré maps can be found in [11] and results about stability of periodic solutions for 2D-simple hybrid systems can be found in [22].…”

Section: Introductionsupporting

confidence: 59%

Symmetries and periodic orbits in simple hybrid Routhian systems

Colombo

Irazú

2020

Nonlinear Analysis: Hybrid Systems

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Symmetries are ubiquitous in a wide range of nonlinear systems. Particularly in systems whose dynamics is determined by a Lagrangian or Hamiltonian function. For hybrid systems which possess a continuous-time dynamics determined by a Lagrangian function, with a cyclic variable, the degrees of freedom for the corresponding hybrid Lagrangian system can be reduced by means of a method known as hybrid Routhian reduction. In this paper we study sufficient conditions for the existence of periodic orbits in hybrid Routhian systems which also exhibit a time-reversal symmetry. Likewise, we explore some stability aspects of such orbits through the characterization of the eigenvalues for the corresponding linearized Poincaré map. Finally, we apply the results to find periodic solutions in underactuated hybrid Routhian control systems.

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Section: Introductionsupporting

confidence: 59%

Symmetries and periodic orbits in simple hybrid Routhian systems

Colombo

Irazú

2020

Nonlinear Analysis: Hybrid Systems

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“…(ii) The set of times where a solution of the system reaches the guard (and is correspondingly reset) has a limit point. This happens, for example, in the case of the bouncing ball with coefficient of restitution 1/2 -see [7] and [25] for instance. To exclude these types of situations, we require the set of impact times to be closed and discrete, as in [42], so we will assume implicitly throughout the remainder of the paper that ∆(S) ∩ S = ∅ and that the set of impact times is closed and discrete.…”

Section: Simple Hybrid Forced Hamiltonian Systemsmentioning

confidence: 99%

“…We would like to obtain a reduction procedure for dissipative hybrid systems in the framework of contact geometry. Moreover, we could consider the reduction of systems with both continuous and discrete time dynamics which are not simple hybrid systems, for instance, a system having several domains and switching surfaces that separate them [13,25,26].…”

Section: Collmentioning

confidence: 99%

Symplectic and Cosymplectic Reduction for simple hybrid forced mechanical systems with symmetries

Colombo¹,

León²,

Irazú³

et al. 2021

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This paper discusses symplectic and cosymplectic reduction for autonomous and non-autonomous simple hybrid forced mechanical systems, respectively. We give general conditions on whether it is possible to perform symmetry reduction for simple hybrid Hamiltonian and Lagrangian systems subject to non-conservative external forces, as well as time-dependent external forces. We illustrate the applicability of the symmetry reduction procedure with an example and numerical simulations.

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“…Resultados similares para sistemas híbridos simples (no Routhianos) relacionados con la existencia de soluciones periódicas pueden verse en [11] y [23]. Condiciones suficientes para la existencia y unicidad de la aplicación de 8 INTRODUCCIÓN Poincaré pueden ser encontrados en [19] y los resultados sobre la estabilidad de las soluciones periódicas para los sistemas híbridos simples 2D pueden ser encontrados en [43].…”

Section: Figura 2: Simetríaunclassified

“…Demostración. Por la hipótesis de transversalidad, podemos emplear el Teorema 3.3 en [43] y entonces existe un subconjunto abierto O ⊂ T P de γ * con S µ γ * ⊂ O, donde cada trayectoria que comienza en O cruza S µ y donde existe una aplicación Existencia de Órbitas Periódicas en Sistemas Híbridos Reducidos de Poincaré P : S µ γ * → S µ γ * . Denotamos por P = [P 1 , P 2 , .…”

Section: Simetría Tiempo Reversible Y Soluciones Periódicas En Sistemas Híbridos Routhianos Simples 149unclassified

Aspectos geométricos y numéricos de los sistemas mecánicos con términos magnéticos

Irazú¹,

Emma²

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Las aplicaciones de técnicas provenientes de la Geometría Diferencial moderna y la Topología han ayudado a una mayor comprensión de los problemas provenientes de la teoría de Sistemas Dinámicos. Estas aplicaciones han reformulado la mecánica analítica y clásica en un lenguaje geométrico que junto a nuevos métodos analíticos, topológicos y numéricos conforman una nueva área de investigación en matemática y física llamada Mecánica Geométrica. La Mecánica Geométrica se configura como un punto de encuentro de disciplinas diversas como la Mecánica, la Geometría, el Análisis, el Álgebra, el Análisis Numérico, las Ecuaciones en Derivadas Parciales, entre otras. Actualmente, la Mecánica Geométrica es un área de investigación pujante con fructíferas conexiones con otras disciplinas como la Teoría de Control no-lineal y los Sistemas Dinámicos. El objetivo de la Teoría de Control es determinar el comportamiento de un sistema dinámico por medio de acciones externas de forma que se cumplan ciertas condiciones prefijadas, como por ejemplo, que haya un extremo fijo, los dos, que ciertas variables no alcancen algunos valores u otro tipo de situaciones más o menos complicadas. Las aplicaciones de la Mecánica Geométrica en Teoría de Control han causado grandes progresos de esta área de investigación. Por otro lado, los sistemas híbridos son sistemas dinámicos que poseen dos componentes particulares en su dinámica: una dinámica a tiempo continua y una dinámica discreta. Estos sistemas son capaces de modelar varios sistemas ingenieriles como por ejemplo robots bípedos y el trabajo cooperativo con drones. La teoría de reducción es uno de los temas más estudiados de la Mecánica Geométrica. El punto de partida de todos los trabajos que estudian este tema es eliminar variables asociadas con un grupo de simetrías para reducir los grados de libertad de un sistema mecánico. En Mecánica Geométrica, las variedades simplécticas son utilizadas como espacios de fases de momentos, es decir, fibrados cotangentes en un espacio de configuración Q. En ese caso, las variedades simplécticas son los espacios naturales en las cuales se realiza la formulación Hamiltoniana de la Mecánica Clásica en el sentido autónomo. Dado un grupo de Lie, si el grupo de Lie actúa en Q, entonces se puede reducir la variedad simpléctica con respecto a la correspondiente acción levantada al cotangente y la aplicación momento canónica. Una de la formulaciones modernas de la teoría de reducción es conocida como reducción simpléctica o reducción de Marsden-Weinstein. La idea principal es la siguiente: suponer que un grupo de Lie actúa simplécticamente en una variedad simpléctica y que la aplicación momento está dada. El conjunto de nivel de esta aplicación, está equipado con una 2-forma canónica cerrada que generalmente no es no-degenerada. Bajo ciertas condiciones, se puede cocientar con respecto al grupo de isotropía para así eliminar las variables degeneradas y obtener una nueva 2-forma que resulta ser simpléctica. En el marco de sistemas que dependen explícitamente del tiempo, la situación es diferente. El espacio de configuraciones es una variedad diferenciable con su parte en el conjunto de números reales. Uno puede pensar en aplicar nuevamente los resultados conocidos a este nuevo marco y realizar una teoría análoga dependiente en el tiempo. En esta Tesis, el estudio de reducción por simetrías para sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos híbridos es desarrollado en profundidad generalizando los resultados ya conocidos. Todos los distintos procesos de reducción que aparecen en mecánica de sistemas a tiempo continuo, de una u otra manera, pueden ser llevados a cabo en el contexto híbrido y así conseguir un sistema equivalente (que luego recuperará la solución del original) más fácil de resolver. El presente trabajo de investigación incluye nuevos resultados en el área de la Mecánica Geométrica que permiten el estudio de sistemas mecánicos (en particular sobre técnicas de reducción aplicadas en distintos contextos), su aplicación a la teoría de control y a los sistemas híbridos con y sin dependencia del tiempo. Presentamos una nueva formulación geométrica para la dinámica de los sistemas mecánicos de orden superior reducidos y la existencia de términos magnéticos, tanto en estos sistemas como en los sistemas mecánicos híbridos, que aparecen luego de aplicar un proceso de reducción Hamiltoniana. El trabajo desarrollado en esta Tesis contribuye a la Mecánica de Orden Superior, la Mecánica Discreta, la Teoría de reducción, la estabilidad y reducción de los Sistemas Mecánicos Híbridos, la Geometría Cosimpléctica y la Teoría de Control Geométrico.

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On the Existence and Uniqueness of Poincaré Maps for Systems With Impulse Effects

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Symmetries and periodic orbits in simple hybrid Routhian systems

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