On the embedding of Gal(ℚ̅/ℚ) into GT

On a new version of the Grothendieck-Teichmüller group

“…The lemma follows from observing how the algebraic functions t 1/n and (1 − t) 1/n are analytically continued from − → 01 to 1/2 along the two (pro)paths r and σ(r). This argument is a variant of Ihara [5] Prop.1.5 on f σ .…”

“…To any σ ∈ G Q , we associate as in [5] an element F σ = (λ σ , f σ ) ∈ GT ; in particular λ σ = χ(σ) where χ denotes the cyclotomic character. In this section, composition is written from left to right.…”

“…Collapsing the loop g−1 of figure 1 to a point, one cuts off a subsurface of type Σ 1,2 , with mapping class group Γ 1,2 generated by the Dehn twists d g , a 2g , d g of Γ g,1 (see figure 1). The group Γ 1,2 is isomorphic to B 4 / ω 4 ⊂ Γ 0, [5] , with standard generators σ 1 , σ 2 , σ 3 . The aforementioned base point on M g,1 specializes to one on M 1,2 , which gives rise to the following Galois action on Γ 1,2 B 4 / ω 4 :…”

“…Le groupe de Grothendieck-Teichmüller GT , introduit par Drinfeld dans [1], est défini comme leséléments inversibles de GT . On a une injection G Q → GT obtenueà partir de l'identification de Γ 0,4 avec le groupe fondamental algébrique π 1 (P 1 Q − {0, 1, ∞}), basé au point base tangentiel ' − → 01' (Belyi, Drinfeld; voir Ihara [5]). …”

“…Soit en effet η l'automorphisme de Γ 0, [5] donné par σ 1 → σ 3 , σ 2 → σ 2 , σ 3 → σ 1 , σ 4 → σ 15 , qui est donné par une symétrie par rapportà un axe, en considérant cinq pointséquidistants sur un cercle. Cet automorphisme fixe f (σ 1 σ 3 , σ 2 2 ), de sorte que si G désigne le membre de gauche de (III ), on a l'identité η(G) −1 G = 1.…”