On the Dynamic Problem of Computing Generators of a Polyhedral Cone

Abstract

Рассматривается динамическая задача построения остова полиэдраль-ного конуса. Задача состоит в последовательном выполнении операций до-бавления или удаления неравенств из фасетного описания полиэдрального конуса с соответствующим перестроением остова. Обсуждается возмож-ность применения метода двойного описания для выполнения обеих опера-ций, приводятся оценки трудоемкости. Для операции удаления неравенства анализируется зависимость размера выхода от размера входа.Ключевые слова: система линейных неравенств; полиэдральный конус; по-строение двойственного описания, метод двойного описания. Основные понятия и обозначенияЛюбой выпуклый полиэдр (многогранник) в ℚ d может быть представлен в двух видах: Вершинное описание -как сумма по-Минковскому выпуклой и конической оболочек конеч-ных систем векторов:Фасетное описание -как множество решений конечной системы линейных неравенств:Частным случаем выпуклого полиэдра является полиэдральный (многогранный) конус, кото-рый может быть представлен как коническая оболочка конечной системы векторов и как множе-ство решений конечной однородной системы линейных неравенств. Неприводимая порождаю-щая система векторов многогранного конуса называется его остовом. Обозначим U(C) остов ко-нуса C.Задача перехода между вершинным и фасетным описаниями выпуклого полиэдра (построе-ние одного описания по заданному другому описанию) называется задачей построения двойст-венного описания полиэдра. Частным случаем данной задачи являются задачи построения вы-пуклой оболочки и нахождения общего решения системы линейных неравенств. Задача построе-ния двойственного описания полиэдра является одной из центральных в теории систем линейных неравенств [1][2][3][4]. Известно множество алгоритмов решения данной задачи [5-10] и близких к ней задач, включая вопросы трудоемкости и организации параллельных вычислений [11][12][13][14]. Задача построения двойственного описания выпуклого полиэдра в ℚ d сводится к аналогичной задаче для полиэдрального конуса в ℚ d+1 (см., например, [4]). В дальнейшем изложении для краткости под полиэдрами и конусами понимаются, соответственно, выпуклые полиэдры и полиэдральные конусы.Пусть A ∈ ℚ m×d . Обозначим A(I), где I ⊆ {1, 2, …, m}, подматрицу матрицы A, составленную из строк с номерами из I. Постановка задачиВ работе рассматривается следующая задача, тесно связанная с задачей построения двойст-венного описания. Заданы неприводимые вершинное и фасетное описания полиэдрального кону-