On Some Integral Equations in Hilbert Space with an Application to the Theory of Elasticity

Abstract

A Volterra type integral equation in a Hilbert space with an additional linear operator L and a spectral parameter depending on time is considered. If the parameter does not belong to the spectrum of L unconditional solvability of the considered problem is proved. In the case where the initial value of the parameter coincides with some isolated point of the spectrum of the operator L sufficient conditions for solvability are established. The obtained results are applied to the partial integral equations associated with a contact problem of the theory of elasticity. (2000). Primary 45D05; Secondary 45N05, 74M15. Mathematics Subject ClassificationKeywords. Volterra type integral equations, partial integral operators, spectral problems, contact problem in elasticity theory.

О Спектре Одного Модельного Трехчастичного Оператора Шредингера

“…Оператор H является самосопряженным на L 2 (Ω 1 × Ω 2 ). Операторы такого вида возникают, например, при изучении двухчастичных ветвей спектра гамильтонианов, описывающих квантовые системы с большим (или бесконечным) числом частиц [1]- [3], в генераторах сложных марковских процессов, в теории упругости, гидродинамике и других разделах механики [4], [5], а также в теории дискретных трехчастичных операторов Шредингера [6]- [10]. В работе [6] была исследована структура спектра гамильтониана H t (оператора триплета) системы, состоящей из двух свободно движущихся электронов (из двух электронов с разным спином) и одной примеси на решетке.…”

Теория Рассеяния Для Одного Класса Двучастичных Операторов Математической Физики (Случай Слабого Взаимодействия)

“…Операторы вида (1.1) возникают, например, при изучении двучастичной ветви спектра у гамильтонианов, описывающих квантовые системы с большим (или бесконечным) числом частиц (см., например, [1]- [3]), или у генераторов сложных марковских процессов, в теории упругости, гидродинамике и других разделах механики сплошных сред [4], [5].…”

“…Докажем существование сильных пределовW (A, A 0 ) = s-lim t→∞ e itA e −itA0 , (1.3) W (A 0 , A) = s-lim t→∞ e itA0 e −itA ,(1 4). …”

Solvability of some partial integral equations in Hilbert space

“…The kernels K(t, s) and R(x, y) are connected with some elastic creeping base and λ(t) is the given value which describes the elastic properties of deformable body. We may reference also to work [1], where the more general integral equations were considered. We suppose that λ(t) is a continuous function.…”

“…Note that the case where λ(0) ∈ σ(A) was studied e. g. in [7] and in [1]. Now we assume that λ(t) coincides with one of the isolated points of the spectrum of the operator A = A * for t = T , where T > 0.…”