On Shor’s Channel Extension and Constrained Channels

Abstract

Several equivalent formulations of the additivity conjecture for constrained channels, which formally is substantially stronger than the unconstrained additivity, are given. To this end a characteristic property of the optimal ensemble for such a channel is derived, generalizing the maximal distance property. It is shown that the additivity conjecture for constrained channels holds true for certain nontrivial classes of channels. After giving an algebraic formulation for the Shor's channel extension, its main asymptotic property is proved. It is then used to show that additivity for two constrained channels can be reduced to the same problem for unconstrained channels, and hence, "global" additivity for channels with arbitrary constraints is equivalent to additivity without constraints.Running title: Shor's channel extension and constrained channels *

Мультипликативность $p$-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации

“…Одна состоит в необходимости ограничений на входе (таких как ограничение на мощность сигнала для гауссовских каналов), чтобы избежать бесконечных зна-чений пропускной способности (хотя рассмотрение ограничений на входе ока-залось полезным и при изучении гипотезы аддитивности для конечномерных каналов [40]). Другая особенность состоит в том, что естественно возникают бесконечные и, как правило, "непрерывные" ансамбли состояний, понимаемые как вероятностные меры на множестве всех квантовых состояний.…”

Непрерывные Ансамбли И Пропускная Способность Квантовых Каналов Бесконечной Размерности

“…П РО П У СКНОИ способности 2 ) квантовых каналов бесконечной раз мерности и является логическим продолжением работ [8], [10], [17]. Хотя в настоящее время основное место в исследованиях по квантовой тео рии информации занимают конечномерные квантовые системы, имеется важный и интересный класс гауссовских каналов (см., например, [9], [4],…”

“…Первая состоит в необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (таких как ограничение средней энергии для гауссовских каналов), хотя, как показано в [10], входные ограниче ния оказываются полезными и при исследовании гипотезы аддитивности для каналов конечной размерности. Другая особенность состоит в есте ственном появлении бесконечных, в общем случае «непрерывных» ан самблей, которые определяются как вероятностные меры на множестве всех квантовых состояний.…”

Superadditivity of classical capacity revisited

“…Given all optical modes have the same frequency, this restriction is equivalent to the restriction on the amount of photons N in the average input state. By using different restrictions on the amount of input photons N one can define two types of additivity: strong and weak [1]. Given the restrictions N 1 and N 2 for channels Φ and Ψ, respectively, the capacity is strongly additive if…”

“…Both strong and weak additivities imply that the optimal input (symbol) states can be realized by the states factorized over the channels. It was proved that one-shot capacity of the bosonic channel C 1 (Φ N ) is a concave function of the amount of input photons N [1,3]. Then, if the channel Φ N is also strongly additive, the optimal distribution of the photons between the channels' inputs is uniform.…”