On reducibility of linear De-system with constant coefficients on the diagonal to De-system with Jordan matrix in the case of equivalence of its higher order one equation

Abstract

О приводимости линейной D e -системы с постоянными на диагонали коэффициентами к D e -системе с жордановой матрицей в случае эквивалентности ее одному уравнению высшего порядка В статье предложена методика приведения линейной системы с постоянными на диагонали коэффициентами к каноническому виду при некоторых условиях, налагаемых на собственные значения системы. Используя данную методику, можно исследовать структуры и (θ, ω, ω)-периодические решения линейных систем уравнений с оператором дифференцирования на главной диагонали.Ключевые слова: дифференциальный оператор, линейная система, приводимость, жорданова матрица.В теории колебаний часто встречаются уравнения и системы уравнений с оператором дифференцирования по направлению главной диагонали t = eτ пространства временных переменныхкоторый также называется оператором дифференцирования по Ли в силу системыгде e = (1, ..., 1) -m-вектор. В частности, (θ, ω)-периодические по (τ, t) системы вида D e x = f (τ, t, x) с дифференциальным оператором D e тесно связаны с проблемами математической теории многочастотных колебаний [1], где ω = (ω 1 , ..., ω m ); θ = ω 0 , ω 1 , ..., ω m -положительные рационально несоизмеримые постоянные. В [2] предложен способ изучения задач (θ, ω)-периодических решений таких систем. Дальнейшее исследование этих проблем выдвинуло изучение систем [3], содержащих характеристику σ = t − eτ оператора D e .При исследовании колебательных решений линейных систем уравнений в частных производных первого порядка возникает необходимость приведения матриц с переменными элементами к удобному виду. В этой связи отметим результаты Y. Sibuya [4, 5] и комментарии к ним в монографиях В. Вазова [6], А.М. Самойленко [7] и И.А. Лаппо-Данилевского [8].Поставим задачу об исследовании приводимости линейной системы с постоянными на диагонали коэффициентами видагде D e -оператор вида (1) с характеристической системой (2), а n × n -матрица A(σ), обладающая свойствами периодичности и гладкостиkω = (k 1 ω 1 , ..., k m ω m ) -кратный вектор-период, к системе с жордановой матрицей в случае эквивалентности ее одному D e -уравнению высшего порядка вида D n e u = c 1 (σ)D n−1 e u + c 2 (σ)D n−2 e u + ... + c n (σ)u (5) 88 Вестник Карагандинского университета

Research of Multiperiodic Solutions of Perturbed Linear Autonomous Systems With Differentiation Operator on the Vector Field

“…The foundations of the method used in this note were laid in [1,2], which were further developed in [3][4][5][6][7][8][9][10] and applied to the study of solutions different problems in the partial differential equations [11,12]. These methods with simple modifications extend to the study solutions of problems of the differential and integro-differential equations of different types [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12], in particular, problems on multi-frequency solutions of equations from control theory [13]. The methods of research for multiperiodic solutions are successfully combined by methods for studying solutions of boundary value problems for equations of mathematical physics.…”

Research of Multiperiodic Solutions of Perturbed Linear Autonomous Systems With Differentiation Operator on the Vector Field

“…The foundations of the method used in this note were laid in [1,2], which were further developed in [3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14] and applied to the study of solutions different problems in the partial differential equations [15,16]. These methods with simple modifications extend to the study solutions of problems of the differential and integro-differential equations of different types [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16], in particular, problems on multi-frequency solutions of equations from control theory [17]. Many oscillatory phenomena are described by systems with a differentiation operator with respect to toroidal vector fields, and new methods based on the ideas of the Fourier [18], Poincaré-Lyapunov and Hamilton-Jacobi methods [19,20] appear to establish their periodic oscillatory solutions.…”