On integers free of large prime factors

Abstract

The number Ψ ( x , y ) \Psi (x,y) of integers ≤ x \leq x and free of prime factors > y > y has been given satisfactory estimates in the regions y ≤ ( log ⁡ x ) 3 / 4 − ε y \leq {(\log x)^{3/4 - \varepsilon }} and y > exp ⁡ { ( log ⁡ log ⁡ x ) 5 / 3 + ε } y > \exp \{ {(\log \log x)^{5/3 + \varepsilon }}\} . In the intermediate range, only very crude estimates have been obtained so far. We close this "gap" and give an expression which approximates Ψ ( x , y ) \Psi (x,y) uniformly for x ≥ y ≥ 2 x \geq y \geq 2 within a factor 1 + O ( ( log ⁡ y ) / ( log ⁡ x ) + ( log ⁡ y ) / y ) 1 + O((\log y)/(\log x) + (\log y)/y) . As an application, we derive a simple formula for Ψ ( c x , y ) / Ψ ( x , y ) \Psi (cx,y)/\Psi (x,y) , where 1 ≤ c ≤ y 1 \leq c \leq y . We also prove a short interval estimate for Ψ ( x , y ) \Psi (x,y) .

Oscillation theorems for primes in arithmetic progressions and for sifting functions

“…: 3) (cf. [HT,Lemma 1]). We can now state the two oscillation theorems for the functions r k and r(P) that are required for the proof of Theorems Al and A3.…”

Propriétés multiplicatives des entiers friables translatés

“…L'exposant 5/3 dans la définition de (H ε ) est lié à l'exposant 2/3 apparaissant dans la région sans zéro de ζ de Vinogradov-Korobov. Les travaux de Hildebrand et Tenenbaum [10] et La Bretèche et Tenenbaum [2], qui font usage de la méthode du col, élucident en partie le comportement de Ψ(x, y) et plus générale-ment Ψ q (x, y), en dehors du domaine (H ε ), notamment par le biais de résultats locaux : on peut établir un lien entre les valeurs de Ψ q (x, y) et celles de Ψ(x, y) même pour des valeurs de y où aucune approximation régulière de Ψ(x, y) n'est connue. On a en particulier les deux résultats suivants.…”

Sur un problème extrémal en arithmétique

“…Compte tenu de l'hypothèse de croissance faite sur (1 + u)h''(u), le théorème 1 découle du théorème 2 si l'on peut montrer que, pour tout P, 0 < P < 3/2, la suite définie par (5) e^expî-Oogfe^}, (fe==l,2,...), est admissible pour chacune des suites (2).…”