On gonality automorphisms of p-hyperelliptic Riemann surfaces

Abstract

A compact Riemann surface X of genus g > 1 is said to be a p-hyperelliptic if X admits a conformal involution ρ for which X/ρ has genus p. This notion is the particular case of so called cyclic (q, n)-gonal surface which is defined as the one admitting a conformal automorphism δ of order n such that X/δ has genus q. It is known that for g > 4p + 1, ρ is unique and so central in the automorphism group of X. We give necessary and sufficient conditions on p and g for the existence of a Riemann surface of genus g admitting commuting p-hyperelliptic involution ρ and (q, n)-gonal automorphism δ for some prime n and we study its group of automorphisms and the number of fixed points of δ. Furthermore, we deal with automorphism groups of Riemann surfaces admitting central automorphism with at most 8 fixed points. The condition on the small number of fixed points of such an automorphism is justified by the study of p-hyperelliptic surfaces. Sobre automorfismos de gonalidad de superficies de Riemann p-hiperelípticasResumen. Una superficie de Riemann compacta X de género g > 1 se dice p-hiperelíptica si X admite una involución conforme ρ, tal que X/ρ tiene género p. Las superficies p-hiperelípticas son un caso particular de las superficies (q, n)-gonales cíclicas que se definen como aquellas superficies que admiten un automorfismo conforme δ de orden q y de modo que X/δ tiene género q. En este trabajo nos restringiremos al caso en que q es un número primo mayor que 2. Es un hecho conocido que si g > 4p+1, la involución ρ esúnica y central en el grupo de automorfismos de X. Obtenemos condiciones necesarias y suficientes sobre p y g para la existencia de superficies de Riemann de género g que admiten una involución p-hiperelíptica y un automorfismo (q, n)-gonal que conmutan. Se determina la presentación de un cociente de los grupos de automorfismos de las superficies de Riemann que admiten un automorfismo (q, n)-gonal que sea central y con 8 puntos fijos como máximo. Esta restricción sobre el número de puntos fijos se justifica por el estudio anterior de las superfices que son a la vez p-hiperelípticas y (q, n)-gonales cíclicas.