On geometric distance-regular graphs with diameter three

Дистанционно Регулярный Граф С Массивом Пересечений $\{45,30,7;1,2,27\}$ Не Существует

“…Уже после написания данной статьи С. Банг и Дж. Кулен [6] сообщили нам, что показали несуществование графов с массивом пересечений…”

“…Таким образом, результат [6] вместе с доказанной в нашей работе теоремой позволяет сформулировать следующее утверждение.…”

“…Рассуждения, доказывающие утверждение (4) леммы 1.5, могут быть применены к любому графу из класса S. А именно, пусть Ω ∈ S связный граф и x, y ∈ Ω вершины на расстоянии 3, причем подграф Ω(x) ∩ Ω 2 (y) является дизъюнктным объединением клик порядков l 1 , l 2 , l 3 , 0 l 1 l 2 l 3 . Тогда по лемме 1.2 (6) подграф Ω(y) ∩ Ω 2 (x) содержит также l 1 + l 2 + l 3 вершин, каждая из которых имеет точно двух соседей в различных кликах из Ω(x)∩Ω 2 (y). Симметрично, каждая вершина из Ω(x)∩Ω 2 (y) имеет точно двух соседей в Ω(y)∩Ω 2 (x).…”

Distance-regular graphs without 4-claws

“…Hence θ 3 = −5 and thus 2 ≤ ψ 1 ≤ 4 and ψ 1 ≥ Remark 4.6 It seems to be difficult to classify distance-regular graphs with θ D = −3 satisfying k = 3(a 1 + 1) and c 2 = 1 (see [4,38]). It follows by [4], [7] and [38] that any distance-regular graph in Theorem 4.5 (9) (i.e., a distance-regular graph with θ D = −3 satisfying k = 3(a 1 + 1), c 2 = 1 and a 1 , …”

“…Bang [4] showed that if k > 8 3 (a 1 + 1), then a distanceregular graph of valency k is 4-claw-free if and only if Γ is geometric with smallest eigenvalue −3. In [4], Bang started the classification of geometric distance-regular graphs with smallest eigenvalue −3 and c 2 > 1, and the results of Bang and Koolen [7] and Gavrilyuk and Makhnev [21] completed the classification.…”