On Entire Functions of Exponential Type Bounded on the Real Axis

Clunie, J. G.; Rahman, Q. I.; Walker, W. J.

doi:10.1112/s0024610799008236

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“…Une PW-fonction est dite réelle si f (R) ⊂ R. Des propriétés d'oscillation de PW-fonctions réelles ont été étudiées dans plusieurs travaux (voir [1,2,5] par exemple).…”

Section: Version Française Abrégéeunclassified

“…Cette décomposition suggère qu'une PW-fonction réelle doit avoir un nombre infini de zéros réels. Néanmoins [2], il n'est pas difficile de montrer que les fonctions de ce même type peuvent être positives sur R. Higgins [2] (voir aussi [1], p. 167) a posé la question suivante : est-il vrai qu'une dérivée de chaque PW-fonction réelle ait un nombre infini de zéros réels ? Une réponse positive a été obtenue par Clunie et les autres [1] et par Walker [5] pour des sous-classes de PW-fonctions réelles.…”

Section: Version Française Abrégéeunclassified

“…Nous appelons ces fonctions non oscillantes. Nous montrons qu'il n'y a pas de restriction sur la décroissance d'une fonction non oscillante sur R, sauf la convergence de l'intégrale logarithmique (1). Notre théorème 1 (ci-dessous) montre que pour n'importe quel ρ ∈ (0, 1) et n'importe quel σ > 0, il existe une PW-fonction non oscillante f dont le type est σ, telle que la valeur |x| ρ log(1/|f (x)|), x ∈ R, est séparée de zéro et de l'infini par des constantes positives pour tous les |x| suffisamment grands.…”

Section: Version Française Abrégéeunclassified

“…We say that a PW-function f is real if f (R) ⊂ R. Oscillatory properties of real PW-functions have been subject of investigation of a number of papers (see, for example, [1,2,5]). The classical Shannon sampling theorem states that each PW-function may be expanded in a cardinal series.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…The sampling procedure can lead to expectation that a real Paley-Wiener function will have infinitely many real zeros. In fact, [2] such a function may be positive on R. Higgins [3] (see also [1], p. 167) has posed the question whether some derivative of any real PW-function has infinitely many real zeros. For some classes of real PW-functions it is indeed so (see Clunie et al [1] and Walker [5]).…”

Section: Introductionmentioning

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Non-oscillating Paley–Wiener functions

Островскии

Ulanovskii

2001

Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathemat

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Résumé.A non-oscillating Paley-Wiener function is a real entire function f of exponential type belonging to L2(R) and such that each derivative f (n) , n = 0, 1, 2, . . . , has only a finite number of real zeros. We show that the class of such functions is non-empty and contains functions of arbitrarily fast decay on R allowed by the convergence of the logarithmic integral. We also give a close to the best possible asymptotic (as n → ∞) estimate of the size of the smallest interval containing all real zeros of n-th derivative of a function f of the class. Version française abrégéeUne fonction entière f du type exponentiel s'appelle fonction de Paley-Wiener (PW-fonction) si f ∈ L 2 (R). Une PW-fonction est dite réelle si f (R) ⊂ R. Des propriétés d'oscillation de PW-fonctions réelles ont été étudiées dans plusieurs travaux (voir [1,2,5] par exemple).Le théorème classique de Shannon affirme que toute PW-fonction peut être décomposée en une série cardinale. Cette décomposition suggère qu'une PW-fonction réelle doit avoir un nombre infini de zéros réels. Néanmoins [2], il n'est pas difficile de montrer que les fonctions de ce même type peuvent être positives sur R. Quoiqu'il en soit, il se trouve que la réponse à la question de Higgins est négative. Dans cette Note, nous construisons une classe assez large de PW-fonctions f réelles telles que toutes les dérivées f (n) , n = 0, 1, 2, . . ., ont seulement un nombre fini de zéros réels. Nous appelons ces fonctions non oscillantes. Nous montrons qu'il n'y a pas de restriction sur la décroissance d'une fonction non oscillante sur R, sauf la convergence de l'intégrale logarithmique (1). Notre théorème 1 (ci-dessous) montre que pour n'importe quel ρ ∈ (0, 1) et n'importe quel σ > 0, il existe une PW-fonction non oscillante f dont le type est σ, telle que la valeur |x| ρ log(1/|f (x)|), x ∈ R, est séparée de zéro et de l'infini par des constantes positives pour tous les |x| suffisamment grands.Il est facile de voir (théorème de Rolle), que la n-ième dérivée d'une PW-fonction non oscillante a au moins n zéros. Il nous semble raisonnable de poser une question sur la longueur de l'intervalle minimal contenant tous les zéros réels de la dérivée f (n) . Le théorème 2 (ci-dessous) donne une estimation asymptotique de la longueur de cet intervalle qui est exacte d'un certain point de vue.Nous passons maintenant à des formulations complètes des théorèmes 1 et 2. Rappelons qu'un ordre précisé est une fonction ρ(r) lisse et positive sur R telle que les conditions (2) sont satisfaites. Définissons la fonction V (r) par (3) ; cette fonction est évidemment croissante pour tous les r suffisamment grands. THÉORÈME 1. -Soit ρ(r) un ordre précisé satisfaisant les conditions (4). Il existe une PW-fonction non oscillante f telle que la relation (5) est vraie, où C 1 et C 2 sont des constantes positives.Soit f une PW-fonction non oscillante. Désignons par [−r(n, f ), r(n, f )] l'intervalle minimal contenant tous les zéros réels de f (n) . Évidemment (théorème de Rolle), r(n, f ) est croissan...

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“…Une PW-fonction est dite réelle si f (R) ⊂ R. Des propriétés d'oscillation de PW-fonctions réelles ont été étudiées dans plusieurs travaux (voir [1,2,5] par exemple).…”

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Non-oscillating Paley–Wiener functions

Островскии

Ulanovskii

2001

Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathemat

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Non-oscillating Paley-Wiener functions

Островскии

Ulanovskii

2004

J. Anal. Math.

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Abstract. A non-oscillating Paley-Wiener function is a real entire function f of exponential type belonging to L2 (R) and such that each derivative f('~), n = 0, 1, 2,..., has only a finite number of real zeros. It is established that the class of such functions is non-empty and contains functions of arbitrarily fast decay on tt allowed by the convergence of the logarithmic integral. It is shown that the Fourier transform of a non-oscillating Paley-Wiener function must be infinitely differentiable outside the origin. We also give close to best possible asymptotic (as n ~ oo) estimates of the number of real zeros of the n-th derivative of a function f of the class and the size of the smallest interval containing these zeros.

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