On depth zero L‐packets for classical groups

Lust, Jaime; Stevens, Shaun

doi:10.1112/plms.12340

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“…Notons que a déjà été fait dans [Dat16, § 3.2.6], on se concentrera ici sur les autres cas. Dans le but d’utiliser les résultats de [LS16], nous supposerons de plus que est de caractéristique résiduelle impaire.…”

Section: Propriétés Deunclassified

“…Pour comprendre nous avons donc besoin de comprendre et en particulier . Nous allons pour cela nous appuyer sur les résultats obtenus dans [LS16].…”

Section: Propriétés Deunclassified

“…Il existe alors et tels que . Comme nous sommes dans le cas où est un groupe classique, le groupe se décompose en un produit de deux groupes , où les sont des groupes classiques (voir par exemple [LS16, § 2]). Ainsi correspond via cet isomorphisme à où .…”

Section: Propriétés Deunclassified

“…On définit et on dit que est auto-dual si . Le polynôme caractéristique de est alors un polynôme unitaire auto-dual et on l’écrit (comme dans [LS16, § 7]) , où le produit est pris sur l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles auto-duaux sur (une telle écriture est possible car la série de Deligne–Lusztig associée à contient une représentation cuspidale et que si contenait un facteur de la forme avec irreductible et alors le centralisateur de dans serait contenu dans un Levi rationnel propre).…”

Section: Propriétés Deunclassified

“…La dernière partie a pour but de montrer les propriétés des facteurs directs ainsi obtenus. Les quatre premières propriétés découlent de la construction de ces catégories et la dernière repose sur les travaux de Moeglin [Moe14], Moussaoui [Mou17a], Haines [Hai14], Lust et Stevens [LS16].…”

Section: Introductionunclassified

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Sur les -blocs de niveau zéro des groupes -adiques

Lanard¹

2018

Compositio Math.

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Soient G un groupe p-adique se déployant sur une extension nonramifiée et Rep 0 Λ (G) la catégorie abélienne des représentations lisses de G de niveau 0 à coefficients dans Λ = Q ℓ ou Z ℓ . Nous étudions la plus fine décomposition de Rep 0 Λ (G) en produit de sous-catégories que l'on peut obtenir par la méthode introduite dans [Lan18]. Nous en donnons deux descriptions, une première du côté du groupe à la Deligne-Lusztig, puis une deuxième du côté dual à la Langlands. Nous prouvons plusieurs propriétés fondamentales comme la compatibilité à l'induction et la restriction parabolique ou à la correspondance de Langlands locale. Les facteurs de cette décomposition ne sont pas des blocs, mais on montre comment les regrouper pour obtenir les blocs "stables". Ces résultats corroborent une conjecture énoncée par Dat dans [Dat17a].Abstract. Let G be a p-adic group which splits over an unramified extension and Rep 0 Λ (G) the abelian category of smooth level 0 representations of G with coefficients in Λ = Q ℓ or Z ℓ . We study the finest decomposition of Rep 0 Λ (G) into a product of subcategories that can be obtained by the method introduced in [Lan18]. We give two descriptions of it, a first one on the group side à la Deligne-Lusztig, and a second one on the dual side à la Langlands. We prove several fundamental properties, like for example the compatibility to parabolic induction and restriction or the compatibility to the local Langlands correspondence. The factors of this decomposition are not blocks, but we show how to group them to obtain "stable" blocks. These results confirm a conjecture given by Dat in [Dat17a]. * σ ) ss ∼ −→ (G * gσ ) ss . * σ ) ss,Λ . Définissons le système S de classes de conjugaison par S σ = {s} et S τ = ∅ si τ = σ. On pose alors S (σ,s) := S. 2.2.2. Définition. On appelle C Λ l'ensemble des couples (σ, s) où σ ∈ BT et s ∈ (G * σ ) ss,Λ et on définit une relation d'équivalence ∼ sur C Λ par (σ, s) ∼ (τ, t) si et seulement si S (σ,s) = S (τ,t) . On obtient aisément le lemme suivant 2.2.3. Lemme. Soient σ, τ ∈ BT, et s ∈ (G * σ ) ss,Λ , t ∈ (G * τ ) ss,Λ . Alors, soit S (σ,s) = S (τ,t) , soit S (σ,s) ∩ S (τ,t) = ∅. Exprimé en termes de classes d'équivalence, ce lemme nous dit que [σ, s] la classe d'équivalence de la paire (σ, s) est donnée par [σ, s] = {(τ, t) | t ∈ S (σ,s),τ }. Posons S min Λ := {S (σ,s) , [σ, s] ∈ C Λ /∼}. L'ensemble S min Λ est constitué des ensembles 0-cohérents minimaux et par la proposition 2.1.6 on a M,Λ Rep T Λ (M ).

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Section: Propriétés Deunclassified

“…Pour comprendre nous avons donc besoin de comprendre et en particulier . Nous allons pour cela nous appuyer sur les résultats obtenus dans [LS16].…”

Section: Propriétés Deunclassified

Section: Introductionunclassified

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Sur les -blocs de niveau zéro des groupes -adiques

Lanard¹

2018

Compositio Math.

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Symmetric power functoriality for holomorphic modular forms

Newton

Thorne²

2021

Publ.math.IHES

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Let $f$ f be a cuspidal Hecke eigenform of level 1. We prove the automorphy of the symmetric power lifting $\operatorname{Sym}^{n} f$ Sym n f for every $n \geq 1$ n ≥ 1 .We establish the same result for a more general class of cuspidal Hecke eigenforms, including all those associated to semistable elliptic curves over $\mathbf{Q}$ Q .

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Modularity of Galois Representations and Langlands Functoriality

Newton

2022

J Indian Inst Sci

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On depth zero L‐packets for classical groups

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Sur les -blocs de niveau zéro des groupes -adiques

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Symmetric power functoriality for holomorphic modular forms

Modularity of Galois Representations and Langlands Functoriality

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