On Asymptotic Properties of a Number Theoretic Function Arising out of a Spin Chain Model¶in Statistical Mechanics

Thermodynamics of the Farey Fraction Spin Chain

“…Despite this, there are many examples of one-dimensional systems that do exhibit a phase transition. The Farey Fraction Spin Chain (FFSC) [1] is one such case, which has attracted interest from both physicists and mathematicians [2,3,4]. (Since this work uses some methods that may be unfamiliar to the latter, we include a paragraph at the end of this section outlining our results from a mathematical viewpoint.…”

“…Section II defines the model and the quantities of interest. More specifically, the partition function Z N is a two-parameter weighted sum over the (matrices defining the) Farey fractions, and the free energy f then follows from the limiting procedure defined in (4). The main goal of our work is to find the analytic behavior of f as a function of the real parameters β, the inverse temperature (so β > 0 is implicit), and h, the external field.…”

Untitled

“…One is the Farey fraction spin chain, a one-dimensional statistical model first proposed by two of the authors [1]. This work has spawned a number of further studies, by both physicists and number theorists [2,3,4] One can define the model as a periodic chain of sites with two possible spin states (A or B)…”

Спиновые Цепочки И Задача Арнольда О Статистиках Гаусса - Кузьмина Для Квадратичных Иррациональностей

“…В статье [6] было доказано, что С помощью соответствия между приведенными квадратичными иррациональ-ностями и конечными произведениями матриц A и B (см. [3]) в работе [5] была получена асимптотическая формула с явной оценкой остаточного члена…”

“…Как и в статьях [5], [3], для вычисления функции Ψ(N ) будем отдельно рассматривать произведение матриц A = 1 0 1 1 , B = 1 1 0 1 четной и нечетной длины. Для определенности будем предполагать, что произведения начинают-ся с матрицы B. Следуя обозначениям работы [5], определим множества W ev и W odd :…”