On an algorithm generating 2-to-1 APN functions and its applications to “the big APN problem”

Abstract

Almost perfect nonlinear (APN) functions are of great interest to many researchers since they have the optimal resistance to the differential attack. The existence of bijective APN functions in even number of variables is an important open problem, and there is only one known example of such a function at present. In this paper we consider a special subclass of 2-to-1 vectorial Boolean functions that can allow us to search and construct APN permutations. We proved that each 2-to-1 function is potentially EA-equivalent to a permutation and proposed an algorithm that generates special symbol sequences for constructing 2-to-1 APN functions. Also, we described two methods for searching APN permutations, that are based on sequences generated by this algorithm.

4-uniform permutations with null nonlinearity

“…In the second part of the paper we focus on 2-1 subfunctions of permutations, that are obtained by discarding one coordinate function. In [8], Idrisova has shown a necessary property on the subfunctions of APN permutations. In particular, for a subfunction S :…”

Vectorial 2-to-1 functions as subfunctions of apn permutations

“…Можно заметить, что тогда любая (n − 1)-подфункция взаимно однозначной векторной функции принадлежит T n . Имеет место следующее утверждение [8].…”

“…Тогда любая её (n − 1)-подфункция является дифференциально 4-равномерной функцией из T n . В [8,9] рассматривается алгоритм построения 2-в-1 APN-функций при помощи специальных так называемых допустимых символьных последовательностей. В [8] доказана следующая Теорема 1.…”

“…В [8,9] рассматривается алгоритм построения 2-в-1 APN-функций при помощи специальных так называемых допустимых символьных последовательностей. В [8] доказана следующая Теорема 1. Пусть F взаимно однозначная APN-функция от n переменных.…”

“…С помощью аппарата допустимых последовательностей строим 2-в-1 векторную функцию S, принадлежащую T n (подробнее о данном построении см. в [8]) и про-веряем её на дифференциальную равномерность. Если S дифференциально 4-равномерная, то она может являться (n − 1)-подфункцией некоторой взаимно однозначной APN-функции.…”