On a theorem of Hayman

Оценка Суммы Ряда Дирихле Через Минимум Модуля На Вертикальном Отрезке

“…В [9] сформулирована теорема, где утверждается, что асимптотическое ра-венство (1.5) имеет место (при r → ∞ вне некоторого исключительного множе-ства нулевой логарифмической плотности), если Поскольку условие (1.7) слабее условия (1.6) (это показано в [10]), результат из [10] является наиболее общим для рядов (1.1) и содержит приведенные выше утверждения из работ [8], [4], [9].…”

“…Для выполнения условия (1.7) необходимо (но не достаточно) выполнение следующей пары условий (см. § 3, а также [10]): 8) где c(t) -наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {q n },…”

“…С учетом приведенной выше теоремы A из [7] теорему A из [10] (она в [10] носит лишь достаточный характер) можно сформулировать следующим обра-зом.…”

“…Поскольку сумма ряда (1.9) в отличие от ряда (1.1) не является периодической на вертикальных прямых, в данном случае может идти речь только об оценках модуля функ-ции F через ее минимум модуля на вертикальных отрезках (эти оценки ана-логичны равенству (1.5)). При условиях (1.7) и б) из (1.8) в [10] такого рода оценки получены для вертикального отрезка фиксированной длины, уходяще-го в бесконечность в пределах некоторой горизонтальной полосы. В настоящей статье показано, что это не по существу: вертикальный отрезок может дви-гаться произвольно, даже сильно осциллируя.…”

“…Примеры последовательностей Λ, для которых реализуются или не реали-зуются условия (2.8) и (3.1), приведены в [10]. Они показывают, насколько эф-фективна характеристика плотности распределения I(λ n ) для проверки неоче-видного условия (3.1).…”