Numerical calculation of singular integrals for different formulations of Boundary Element

Abstract

This paper presents a method of regularization for the numerical calculation of singular integrals used in different formulations of Boundary Element Method. The singular integrals arise when elements of order higher than zero are used for discretization. Very often in the Diffusive Optical Tomography for infant head modeling, triangular or square curvilinear boundary elements of the second order are used hence, our interest in the subject of effective and accurate calculation of singular integrals. Even for the classical formulation of BEM such a problem is extremely difficult. Some authors believe that the practical application possesses only flat triangular boundary elements of zero-order, and although there is some truth in this statement, Diffusion Optical Tomography elements of the second order show a significant advantage. This issue becomes even more interesting when we deal with the Galerkin BEM formulation offering the possibility of symmetrisation of the main matrix, which has fundamental importance for inverse problems. This matter becomes critical when we start to consider the Fourier BEM formulation, introduced by Duddeck. His approach provides the possibility of a solution in the case that there is no fundamental solution. The light propagation, which is described by the Boltzmann equation is such a case. Currently and most commonly, the Boltzman equation is approximated by the diffusion equation in strongly light scattering media. In the authors opinion, the problem of numerical integration of singular integrals has not yet been fully exhausted in the classic and Galerkin BEM formulation but the Fourier BEM formulation still expects the proposals of the solutions. Such an offer we would like to present in this paper Streszczenie. W artykule przedstawiono metodę regularyzacji numerycznego obliczania całek osobliwych stosowanych w różnych rozwiązaniach Metody Elementu Brzegowego. Całki osobliwe powstają, gdy do dyskretyzacji zostaną użyte elementy wyższego rzędu niż zero. Bardzo często w dyfuzyjnej tomografii optycznej użytej do modelowania głowy dziecka używa się trójkątnych lub kwadratowych krzywoliniowych elementów brzegowych drugiego rzędu i dlatego nasze zainteresowanie dotyczy tematu skutecznego i dokładnego obliczenia całek osobliwych. Nawet w przypadku klasycznego sformułowania MEB ten problem jest wyjątkowo trudny. Niektórzy autorzy uważają, że praktyczne zastosowanie mają tylko płaskie trójkątne elementy brzegowe zerowego rzędu i chociaż w tym stwierdzeniu jest trochę prawdy, to dyfuzyjna tomografia optyczna stosując elementy brzegowe drugiego rzędu wykazuje znaczącą przewagę. Kwestia ta staje się jeszcze bardziej interesująca, gdy mamy do czynienia ze sformułowaniem Galerkina MEB, oferującym możliwość użycia symetrycznej macierzy współczynników, która ma fundamentalne znaczenie przy rozwiazywaniu problemów odwrotnych. Ta kwestia staje się krytyczna, gdy zastosujemy sformułowanie Fouriera w MEB, wprowadzoną przez Duddecka. Jego podejście daje szanse rozwiązania w przypadku braku rozwiązani...

The Boundary Element Method in Acoustics: A Survey

“…For the simple elements discussed, analytic expressions for the diagonal components of the L SS and N SS matrices are available for the 2D and 3D (non-axisymmetic) cases for Laplace's equation. Further work on singular integration can be found in the following references [96][97][98][99][100][101].…”

Quadrature Rules for Functions with a Mid-Point Logarithmic Singularity in the Boundary Element Method Based on the <i>x = t<sup>p</sup></i> Substitution

“…ikr k G r = π p q (5) in three dimensions, with S ∈ p , = − r p q , r = r and n is the unit outward normal to the boundary. (6) in two dimensions and…”

“…However, in 3D we have 1 O r       like singularities (where r represents the distance between the observation point and the point on the panel). There have been a number of papers addressing the problem of integrating functions like this for general 3D problems in the BEM, both numerically [6] and analytically [7], although this is outside the scope of this paper. However, for the particular class of axisymmetric 3D problems, the first azimuthal integration over the panel results again in a logarithmic ( ) log O r singularity in the remaining integral along the generator of the panel and for these problems this work is applicable.…”