Numerical analytic continuation using Padé approximants

Ferris-Prabhu, A.V.; Withers, David H.

doi:10.1016/0021-9991(73)90127-7

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“…Due to the independence of A + and A − , S(A + ) and S(A − ) follow the same functional form as the conventional entropy, Eq. (7), that stems from the Poisson distribution. Thus,…”

Section: Positive-negative Memmentioning

confidence: 99%

“…Just as the two Poisson distributions of the respective balls lead to a Skellam distribution by integrating out the additional degree of freedom, a reduction of the parameter space from A + and A − to A = A + − A − leads to an entropy S ± (A) that differs from the conventional entropy in Eq. (7). The derivation of S ± (A) was first carried out in the context of cosmic microwave background radiation [36][37][38], an available software package providing this entropy is memsys5 [45].…”

Section: Positive-negative Memmentioning

confidence: 99%

“…This fact has lead to the development of a plethora of different methods trying to efficiently perform the AC. Among them are series expansions (e.g., the Padé method [7][8][9]), information-theoretical approaches such as the maximum entropy method (MEM) [10][11][12][13] and stochastic methods [14][15][16][17][18]. Other algorithms based on singular value decomposition (SVD) [19], machine learning [20] or sparse modeling [21] tackling the AC have also been presented.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Maximum entropy formalism for the analytic continuation of matrix-valued Green's functions

et al. 2017

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We present a generalization of the maximum entropy method to the analytic continuation of matrix-valued Green's functions. To treat off-diagonal elements correctly based on Bayesian probability theory, the entropy term has to be extended for spectral functions that are possibly negative in some frequency ranges. In that way, all matrix elements of the Green's function matrix can be analytically continued; we introduce a computationally cheap element-wise method for this purpose. However, this method cannot ensure important constraints on the mathematical properties of the resulting spectral functions, namely positive semidefiniteness and Hermiticity. To improve on this, we present a full matrix formalism, where all matrix elements are treated simultaneously. We show the capabilities of these methods using insulating and metallic dynamical mean-field theory (DMFT) Green's functions as test cases. Finally, we apply the methods to realistic material calculations for LaTiO3, where off-diagonal matrix elements in the Green's function appear due to the distorted crystal structure.

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“…Due to the independence of A + and A − , S(A + ) and S(A − ) follow the same functional form as the conventional entropy, Eq. (7), that stems from the Poisson distribution. Thus,…”

Section: Positive-negative Memmentioning

confidence: 99%

Section: Positive-negative Memmentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Maximum entropy formalism for the analytic continuation of matrix-valued Green's functions

et al. 2017

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“…Many different methods to perform the AC have been proposed, e.g., series expansions such as the Padé method [5], machine learning [6], stochastic methods [7][8][9][10][11][12][13], and the maximum entropy method (MEM) [14][15][16][17][18]. The latter is a consistent approach as it is based on Bayesian probability theory; however, a highly ignorant entropic prior is used, which merely accounts for positivity and additivity of the reconstructed signal.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Bayesian parametric analytic continuation of Green's functions

2019

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Bayesian parametric analytic continuation (BPAC) is proposed for the analytic continuation of noisy imaginary-time Green's function data as, e.g., obtained by continuous-time quantum Monte Carlo simulations (CTQMC). Within BPAC, the spectral function is inferred from a suitable set of parametrized basis functions. Bayesian model comparison then allows to assess the reliability of different parametrizations. The required evidence integrals of such a model comparison are determined by nested sampling. Compared to the maximum entropy method (MEM), routinely used for the analytic continuation of CTQMC data, the presented approach allows to infer whether the data support specific structures of the spectral function. We demonstrate the capability of BPAC in terms of CTQMC data for an Anderson impurity model (AIM) that shows a generalized Kondo scenario and compare the BPAC reconstruction to the MEM, as well as to the spectral function obtained from the real-time fork tensor product state impurity solver, where no analytic continuation is required. Furthermore, we present a combination of MEM and BPAC and its application to an AIM arising from the ab initio treatment of SrVO3.

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“…Over the last decades a large set of tools was developed to deal with this problem, among which we find the Padé approximation [127,128], the maximum entropy method [129][130][131][132][133], deconvolution procedures [134], singular value decomposition based algorithms [135], machine learning methods [136], sparse modeling approaches [137], and stochastic sampling techniques [138][139][140][141][142][143]. All the above methods have their advantages and drawbacks but in this section we will concentrate only on the Padé approximation because we expect the noise in our data to be negligible since the only constraint we have is sufficient resolution of the numerical objects which we can assure by increasing the number of k-points N and Matsubara frequencies N mats .…”

Section: Analytic Continuationmentioning

confidence: 99%

The two-particle self-consistent approach and its application to real materials

Zantout¹

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Diese Thesis befasst sich mit dem Problem korrelierter Elektronensysteme in realen Materialien. Ausgangspunkt hierbei ist die quantenmechanische Beschreibung dieser Systeme im Rahmen der sogenannten Kohn-Scham Dichtefunktionaltheorie, welche die Elektronen der Kristallsysteme als effektiv nicht-wechselwirkende Teilchen beschreibt. Während diese Modellierung im Falle vieler Materialklassen erfolgreich ist, unterscheiden sich die korrelierten Elektronensysteme dadurch, dass der kollektive Charakter der Elektronendynamik nicht zu vernachlässigen ist. Um diese Korrelationseffekte genauer zu untersuchen, verwenden wir in dieser Arbeit das Hubbard-Modell, welches mit der projektiven Wannierfunktionsmethode aus der Kohn-Scham Dichtefunktionaltheorie konstruiert werden kann. Das Hubbard-Modell umfasst hierbei nur die lokale Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf einem Gitter. Auch wenn das Modell augenscheinlich sehr simpel ist, existieren exakte Lösungen nur in bestimmten Grenzfällen. Dies macht die Entwicklung approximativer Ansätze erforderlich, wobei die Weiterentwicklung der sogenannten Two-Particle Self-Consistent Methode (TPSC) eine zentrale Rolle dieser Arbeit einnimmt. Bei TPSC handelt es sich um eine Vielteilchenmethode, die in der Sprache funktionaler Ableitungen und sogenannter conserving approximations hergeleitet werden kann. Der zentrale Gedanke dabei ist, den effektiven Wechselwirkungsvertex als statisch und lokal zu approximieren. Dies wiederum erlaubt die Bewegungsgleichung des Systems erheblich zu vereinfachen, sodass eine numerische approximative Lösung des Hubbard-Modells möglich wird. Vorsetzung hierbei ist nur, dass sich das System in der normalleitenden Phase befindet und die bei Phasenübergängen entstehenden Fluktuationen nicht zu groß sind. Während diese Methode ursprünglich von Y. M. Vilk und A.-M. Tremblay für das Ein-Orbital Hubbard-Modell entwickelt wurde, stellen wir in dieser Arbeit eine Erweiterung auf Viel-Orbital-Systeme vor. Im Falle mehrerer Orbitale treten in der TPSC-Herleitung einzelne Komplikationen auf, die mit weiteren Approximationen behandelt werden müssen. Diese werden anhand eines einfachen Zwei-Orbital Modell-Systems diskutiert und die TPSC-Ergebnisse werden darüber hinaus mit den Ergebnissen der etablierten dynamischen Molekularfeldnährung verglichen. In diesem Zusammenhang werden auch mögliche zukünftige Erweiterungen bzw. Verbesserungen von TPSC diskutiert. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Anwendung von TPSC auf reale Materialien. In diesem Zusammenhang werden in dieser Arbeit die supraleitenden Eigenschaften der organischen K-(ET)2X Systeme untersucht. Hierbei lassen die TPSC-Resultate darauf schließen, dass das populäre Dimer-Modell, welches zur Beschreibung dieser Materialien herangezogen wird, nicht genügt um die experimentell bestimmten kritischen Temperaturen zu erklären und dass das komplexere Molekülmodell weitere exotische supraleitende Lösungen zulässt. Schließlich untersuchen wir außerdem die elektronischen Eigenschaften des eisenbasierten Supraleiters LiFeAs und diskutieren inwieweit nicht-lokale Korrelationseffekte, welche durch TPSC aufgelöst werden können, die experimentellen Daten reproduzieren.

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Numerical analytic continuation using Padé approximants

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Maximum entropy formalism for the analytic continuation of matrix-valued Green's functions

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