Null-controllability properties of the generalized two-dimensional Baouendi–Grushin equation with non-rectangular control sets

Abstract

We consider the null-controllability problem for the generalized Baouendi-Grushin equation (∂ t − ∂ 2x − q(x) 2 ∂ 2 y )f = 1 ω u on a rectangular domain. Sharp controllability results already exist when the control domain ω is a vertical strip, or when q(x) = x. In this article, we provide upper and lower bounds for the minimal time of null-controllability for general q and non-rectangular control region ω. In some geometries for ω, the upper bound and the lower bound are equal, in which case, we know the exact value of the minimal time of null-controllability.Our proof relies on several tools: known results when ω is a vertical strip and cutoff arguments for the upper bound of the minimal time of null-controllability; spectral analysis of the Schrödinger operator −∂ 2x + ν 2 q(x) 2 when Re(ν) > 0, pseudo-differential-type operators on polynomials and Runge's theorem for the lower bound.Résumé. -Nous considérons le problème de la contrôlabilité à zéro de l'équation de Baouendi-Grushin généralisée (∂ t − ∂ 2x − q(x) 2 ∂ 2 y )f = 1 ω u sur un domaine rectangulaire. On connaît déjà des résultats précis de contrôlabilité lorsque le domaine de contrôle ω est une bande verticale, ou lorsque q(x) = x. Dans cet article, nous démontrons des bornes supérieures et inférieures du temps minimal de contrôlabilité à zéro, pour une classe générale de potentiels q et de domaines de contrôle ω possiblement non rectangulaires. Pour certaines zones de contrôle, la borne supérieure et la borne inférieure coïncident, auquel cas nous connaissons la valeur exacte du temps minimal de contrôlabilité à zéro. Notre démonstration s'appuie sur plusieurs outils. Pour la borne supérieure du temps minimal de contrôlabilité, nous utilisons des résultats connus lorsque ω est une bande verticale et des arguments de troncature. Pour la borne inférieure, nous utilisons une analyse spectrale de l'opérateur de Schrödinger −∂ 2x + ν 2 q(x) 2 lorsque Re(ν) > 0, des opérateurs de type pseudodifférentiel sur les polynômes et le théorème de Runge.