Normartige Metriken auf metrisierbaren lokalkonvexen topologischen Vektorräumen

Abstract

Zunachst seien einige Begriffe in der Weise zusammengestellt, wie wir sie verwenden werden. Wir verstehen unter einem metrisclien Vektorraum ( E , d ) einen reellen oder komplexen Vektorraum E , dessen Dimension groBer als 1 ist urid auf dem eirie translationsirivariante Metrik d so erklart ist, daS die linearen Operatiorien in E stetig siiid. Eiii metrischer Vektorraum ist somit ein Beispiel eines metrisierbaren topologischen Vektorraumes, das heil3t eines topologischen Vektorraumes, dessen Topologie durch eine translationsirivariante Metrik erzeugt werdeii kann. Metrisehe Vektorraume, deren Topologie lokalkonvex ist, werden wir ebeiifalls lokalkonvex nennen. In einem metrischeii Vektorraum ( E , d ) bezeichiie o den Nullvektor, 1x1: = d(x, 0) K ( o : r ) : = {x E E : 1x1 5 r] fur x E E den Abstand des Vektors x vom Nullvektor und fur r > 0 die Kugel mit dem Radius r urn den Nullvektor. Das Funktional I. 1 auf E werde die Paranorm des metrisehen Vektorraumes ( E , d ) genannt. Die Paranorm 1. I heiSe monoton, wenn fur jeden Vektor x E E und fiir beliebige positive reelle Zahlen a und @ aus cc 5 p stets Icc XI 5 / @ xi folgt. Sie heil3e strikt monoton, wenn fur jeden Vektor x E E mit x =+ o und fur beliebige positive reelle Zahlen cc und / 3 aus cc < p stets I cc x I < I / I x I folgt. 1st E [TI eiri metrisierbarer lokalkonvexer topologischer Vektorraum, so besitzt er eine abzahlbare Nullumgebungsbasis, die aus abgeschlossenen absolutkonvexen Nullumgebungeri U , (n = 1, 2. . . .) besteht und in der zu jedem Vektor x + o aus E eine Nullumgebung existiert, die x nicht enthalt. Die ~! t I N K O W S K I -~u n k t i o n a~e p, der U , (das sind die durch

Nonexpansive Mappings on New Premodular Special Space of Sequences

“…(iii) For any u 0 > 0 and a ∈ (0, 1), there exists a number δ ∈ (0, 1) such that if u ≥ u 0 . (3) [25] A normed space (X, μ) is said to be strictly convex if for any u, v ∈ X and b > 0 satisfying μ(u) ≤ b, μ(v) ≤ b, and μ(u − v) > 0 imply μ(u + v/2) < b. (4) [26] A normed space (X, μ) is said to be uniformly convex if for any b > 0 and ϵ > 0, there exists δ > 0 such that for all u, v ∈ X satisfying μ(u…”