Nonstandard finite-difference schemes for general two-dimensional autonomous dynamical systems

Dimitrov, Dobromir; Kojouharov, Hristo V.

doi:10.1016/j.aml.2004.08.011

Cited by 70 publications

(88 citation statements)

References 10 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Các lược đồ sai phân bảo toàn tính chất này còn được gọi là lược đồ ổn định cơ bản (elementary stable). Có rất nhiều kết quả khác nhau về các lược đồ ổn định cơ bản, mà tiêu biểu là kết quả cho hệ động lực tổng quát [5,6,10] và một số kết quả khác cho các hệ phương trình cụ thể [7,15,16,18]. Cách tiếp cận chung, phổ biến là xem xét ma trận Jacobian của lược đồ rời rạc tại các điểm cân bằng.…”

Section: Giới Thiệuunclassified

Lược Đồ Sai Phân Khác Thường Mô Phỏng Số Mô Hình Siêu Quần Thể: Sử Dụng Định Lý Ổn Định Lyapunov

Á¹,

Tuấn²

2017

Fair - Nghiên Cứu Cơ Bản Và Ứng Dụng Công Nghệ Thông Tin - 2016

View full text Add to dashboard Cite

Từ khóa-Lược đồ sai phân khác thường, mô hình siêu quần thể, định lý ổn định Lyapunov, mô phỏng số. I. GIỚI THIỆUCác nghiên cứu về các hệ thống sinh học, hóa học, vật lý, cơ học,… đã được phát triển trong nhiều năm qua [2,4]. Các hệ thống này thường được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng như các phương trình vi phân thường. Nghiệm của các phương trình này có các tính chất đặc biệt như tính chất dương (chẳng hạn, số lượng quần thể trong các mô hình sinh học, nồng độ các chất trong phản ứng sinh hóa, kích thước, năng lượng,…), tính chất đơn điệu, tính chất tuần hoàn, tính chất ổn định và một số tính chất bất biến khác… Bên cạnh đó các phương trình mô tả các hệ thống này thường rất phức tạp, không có hi vọng giải đúng. Chính vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng và mô phỏng số phương trình vi phân là một trong những vấn đề quan trọng của toán học nói chung và toán học tính toán nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân.Để giải gần đúng phương trình vi phân mô tả các quá trình vật lý, sinh học, hóa học, cơ học,… nhiều phương pháp giải gần đúng được sử dụng, trong đó là phương pháp sai phân là phương pháp phổ biến nhất. Lý thuyết chung về các lược đồ sai phân giải phương trình vi phân đã được xây dựng và phát triển trong nhiều cuốn sách mà ngày nay đã trở thành kinh điển (xem, chẳng hạn, [17]). Ta sẽ gọi các lược đồ loại này là -lược đồ sai phân bình thường‖ (standard finite difference schemes). Trong nhiều bài toán phi tuyến các lược đồ sai phân bình thường có nhược điểm là gây ra hiện tượng không ổn định số (numerical instabilities) [12][13][14]. Một mô hình rời rạc được gọi là có hiện tượng không ổn định số nếu tồn tại nghiệm của phương trình sai phân (hay lược đồ sai phân) không bảo toàn các tính chất nghiệm của phương trình vi phân tương ứng. Trong [12][13][14] Mickens đưa ra rất nhiều các ví dụ chi tiết và phân tích sâu sắc hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường. Nói chung lược đồ sai phân bình thường chỉ có thể bảo toàn được các tính chất của bài toán khi bước lưới được chọn để rời rạc trục thời gian đủ nhỏ, tức là nào đó với rất nhỏ. Chính vì thế khi nghiên cứu mô hình trong khoảng thời gian rất lớn ( thì việc chọn bưới lưới quá nhỏ dẫn đến chi phí tính toán rất lớn.Để khắc phục hiện tượng không ổn định số, vào những năm 80 của thế kỷ trước Mickens đã đề xuất một khái niệm mới, được gọi là lược đồ sai phân khác thường (nonstandard finite difference schemes) để phân biệt với các lược đồ sai phân bình thường [12][13][14]. Theo đó, lược đồ sai phân khác thường là lược đồ được xây dựng dựa trên một bộ quy tắc xác định. Các quy tắc này được đề xuất bởi Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường. Đây là lớp phương pháp số bảo toàn các tính chất của phương trình vi phân tương ứng. Đó là các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân như: tính chất nghiệm dương, t...

show abstract

Section: Giới Thiệuunclassified

Lược Đồ Sai Phân Khác Thường Mô Phỏng Số Mô Hình Siêu Quần Thể: Sử Dụng Định Lý Ổn Định Lyapunov

Á¹,

Tuấn²

2017

Fair - Nghiên Cứu Cơ Bản Và Ứng Dụng Công Nghệ Thông Tin - 2016

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Because the discrete system obtained by the continuous system has truncation errors. Anguelov and Lubuma [2], Dimitrov and Kojouharov [8,9] and Lubuma and Roux [18], among others, have used Nonstandard Finite Difference Schemes (NSFD), developed by Mickens [20] for designing methods that conserve the local stability of equilibria of the approximated system. However, the NSFD methods, guarantee positive discrete solution for positive initial conditions [11].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

A nonstandard numerical scheme for a predator-prey model with Allee effect

Ongun¹,

ÖZDOĞAN²

2017

J. Nonlinear Sci. Appl.

View full text Add to dashboard Cite

In this paper, we present a Lotka-Volterra predator-prey model with Allee effect. This system with general functional response has an Allee effect on prey population. A nonstandard finite difference scheme is constructed to transform the continuous time predator-prey model with Allee effect into the discrete time model. We use the Schur-Cohn criteria which deal with coefficients of the characteristic polynomial for determining the stability of discrete time system. The proposed numerical schemes preserve the positivity of the solutions with positive initial conditions. The new discrete-time model shows dynamic consistency with continuous-time model.

show abstract

“…One way to avoid such numerical instabilities is the construction of nonstandard finite difference schemes. Dimitrov and Kojouharov (2007) pointed out that numerical methods one uses to approximate the solutions of dynamical systems are expected to be consistent with the original differential systems, and should be zero-stable and convergent.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…General two-dimensional autonomous dynamical systems and their standard numerical discretizations are considered by Dimitrov and Kojouharov (2005) who designed and analyzed nonstandard stability-preserving…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

An unconditionally stable nonstandard finite difference method applied to a mathematical model of HIV infection

Obaid¹,

Ouifki²,

Patidar³

2013

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science

View full text Add to dashboard Cite

We formulate and analyze an unconditionally stable nonstandard finite difference method for a mathematical model of HIV transmission dynamics. The dynamics of this model are studied using the qualitative theory of dynamical systems. These qualitative features of the continuous model are preserved by the numerical method that we propose in this paper. This method also preserves the positivity of the solution, which is one of the essential requirements when modeling epidemic diseases. Robust numerical results confirming theoretical investigations are provided. Comparisons are also made with the other conventional approaches that are routinely used for such problems.

show abstract

Nonstandard finite-difference schemes for general two-dimensional autonomous dynamical systems

Cited by 70 publications

References 10 publications

Lược Đồ Sai Phân Khác Thường Mô Phỏng Số Mô Hình Siêu Quần Thể: Sử Dụng Định Lý Ổn Định Lyapunov

Lược Đồ Sai Phân Khác Thường Mô Phỏng Số Mô Hình Siêu Quần Thể: Sử Dụng Định Lý Ổn Định Lyapunov

A nonstandard numerical scheme for a predator-prey model with Allee effect

An unconditionally stable nonstandard finite difference method applied to a mathematical model of HIV infection

Contact Info

Product

Resources

About