Nonlinear embeddings of spaces of continuous functions

Galego, Elói Medina; Silva, André Luis Porto da

doi:10.1090/proc/14798

“…O primeiro, provado em [GPdS19b], é uma versão não-linear do Teorema de Cengiz [Cen73] (uma versão fraca do Teorema de Banach-Stone, envolvendo isomorfismos entre subespaços extremamente regulares de C 0 (K) e C 0 (S)) que, como consequência, generaliza e unifica alguns resultados clássicos envolvendo os espaços C 0 (K) e C (1) 0 (K). O segundo, provado em [GPdS20], corresponde a uma generalização não-linear para o Teorema de Holsztyński [Hol66] (uma versão fraca do Teorema de Banach-Stone, que abrange T : C 0 (K) → C 0 (S) isomorfismos com a imagem, não-necessariamente sobrejetores).…”

Section: Versões Não-lineares Vetoriaisunclassified

Versões não-lineares e vetoriais do teorema de Banach-Stone

Silva¹

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AgradecimentosAo longo dos quatro anos de desenvolvimento desse trabalho, muitas foram as pessoas que contribuíram para que esse chegasse à sua conclusão.Eu dedico este trabalho, inteiramente, à minha esposa e companheira de todos os dias, Letícia, por ter me apoiado desde os momentos de verborragia eufórica, que terminavam em rabiscos e garranchos de ideias matemáticas para as quais teve a paciência de acenar e acolher minha paixão por elas; até os momentos do pesar da ansiedade e insegurança, inerentes ao fim de toda tese de doutorado, os quais só pude superar com o seu apoio.Agradeço imensamente à minha família, por todo o suporte que tive desde minha infância, quando perdi meus pais, até a fase adulta, quando vez ou outra demando um cuidado especial de casa. Em especial, agradeço à minha irmã que morou comigo nos últimos anos e com a qual pude compartilhar um cotidiano intenso e vivo, regado a café, incenso, cerveja, extensas conversas e sempre uma nova ideia. Cabe um agradecimento especial aos meus sogros, Luciano e Francisca, e aos meus cunhados, Mariana e Henrique, por terem me acolhido como a um membro da família no momento mais delicado da minha vida: quando passei pelo tratamento de um câncer no pericárdio. Durante os oito meses de tratamento me receberam em casa e me deram todo o auxílio e companhia de que necessitei. Não importa o que eu faça em retorno, sempre me considerarei em débito com vocês por tudo o que fizeram e fazem por mim. Aos meus companheiros de sala: Hugo, Felipe, Yuri, João, Rodrigo, André Zaidan e Gilson. Foi com eles que pude compartilhar a rotina universitária de meus últimos anos de doutorado. É sempre muito bom entrar na sala B-141 e encontrá-los para compartilhar um café. Sou muito grato pelas conversas (intermináveis), o companheirismo e inspiração. Agradeço ao meu orientador Eloi Medina Galego, com o qual sempre pude contar com as novas ideias para problemas, as discussões e a paciência. Tenho muito orgulho e gratidão pelo nosso frutuoso trabalho juntos. Agradeço a CAPES e a CNPq pelo financiamento de minha pesquisa por meio do qual fora possível minha dedicação exclusiva a este trabalho. Por fim, agradeço aos professores Ricardo Bianconi, Leandro Fiorini Aurichi, Antonio Roberto da Silva e Vinicius Cifú Lopes por terem aceitado fazer parte da minha banca de defesa. i Resumo SILVA, A. L. P. Versões não-lineares e vetoriais do Teorema de Banach-Stone. 2019. 44 p.Tese (Doutorado) -Seja X um espaço de Banach de dimensão finita e K, S espaços de Hausdorff localmente compactos. Nessa tese de doutorado, lidamos com o problema de quando uma função T de C 0 (K, X) sobre C 0 (S, X) implica que K e S são homeomorfos. Para esse propósito, apresentamos uma nova técnica, inspirada na prova de um resultado clássico de Jarosz (1989), que nos dá versões do teorema de Banach-Stone para funções bijetoras T :). Esse é o resultado de um projeto de longa data, desde o trabalho de mestrado do autor, e envolveu um extenso estudo de artigos escritos por Cambern, Jarosz, Dutriex, Kalton, Górak, entre ...

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On the structure of into isomorphisms between spaces of continuous functions

Galego¹

2022

Proc. Amer. Math. Soc.

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Let K K and S S be locally compact Hausdorff spaces and let T T be a real linear isomorphism of an extremely regular subspace A A of C 0 ( K ) C_{0}(K) into C 0 ( S ) C_{0}(S) satisfying ‖ T ‖ ‖ T − 1 ‖ > 2 \|T \| \ \|T^{-1}\|>2 . Put L = T ‖ T − 1 ‖ L=T \ \|T^{-1}\| and pick 0 ≤ ε > 1 0 \leq \varepsilon >1 such that ‖ T ‖ ‖ T − 1 ‖ = 1 + ε \|T \| \ \|T^{-1}\|=1+\varepsilon . We prove that there exist a subset S 0 S_0 of S S , a proper map φ \varphi of S 0 S_{0} onto K K and a map λ : S 0 → { − 1 , 1 } \lambda :S_{0} \to \{-1, 1\} such that | L f ( s ) − λ ( s ) f ( φ ( s ) ) | ≤ ε ‖ f ‖ , ∀ s ∈ S 0 and f ∈ A . \begin{equation*} |Lf(s)-\lambda (s) f(\varphi (s))| \leq \varepsilon \|f\|, \ \forall s \in S_{0} \ \text {and} \ f \in A. \end{equation*} For ε > 1 / 2 \varepsilon > 1/2 the maps φ \varphi and λ \lambda are continuous, and this approximation of L L by such a weighted composition operator improves the well-known Holsztyński theorem [Studia Math. 26 (1966), pp. 133–136], the case where ε = 0 \varepsilon =0 , K K and S S are compact and A = C 0 ( K ) A=C_{0}(K) . The approximation of L L in the general case where 0 ≤ ε > 1 0 \leq \varepsilon >1 is an extension of a Benyamini’s result [Proc. Amer. Math. Soc. 83 (1981), pp. 479–485] which allowed us to strengthen a classical Jarosz’s theorem [Proc. Amer. Math. Soc. 90 (1984), pp. 373–377] by proving that K K is a continuous image not just of a subset of S S but of a locally compact subset of S S . Moreover, when K K is compact, it is a continuous image not just a closed subset of S S but of a compact subset of S S , namely the set S 0 S_0 having the above properties.

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