New approaches to solving plane problems of continuum mechanics in polar coordinates using the argument functions method

Abstract

алгоритм спрощення знаходження рішень диференціальних рівнянь плоскої задачі механіки суцільного середовища в полярних координатах в рамках методу аргумент функцій комплексного змінного. Методика дослідження. На основі методів аргумент функцій та комплексного змінного розроблені нові підходи до визначення компонентів тензору напружень в полярних координатах. При рішенні плоскої задачі використано системи рівнянь рівноваги. Запропоновано фундаментальне підставлення. Показано використання тригонометричного підставлення, яке пов'язує інтегральні характеристики напруженого стану з компонентами тензору напружень. Введено до розгляду аргумент функції базових змінних. При підставленні до диференційних рівнянь сформовано оператори, які характеризуються цими аргумент функціями, виконуючі роль своєрідного регулятору пошуку. Результати дослідження. Встановлено закономірності існування рішень у вигляді інваріантних співвідношень Коші-Римана та рівнянь Лапласа. В рішенні використовують узагальнюючі співвідношення в диференційній формі для конкретних функцій-функцій гармонійного типу. Тригонометрична форма епюри дотичних напружень фактично підтверджена теоретичними та експериментальними даними. Наукова новизна полягає в отриманні рішень, які визначають не самі функції, а умови їх існування з використанням диференційних співвідношень Коші-Римана. Рішення є більш загальним випадком з тією особливістю, що представлено не у вигляді добутку функцій, кожна з яких визначається однією координатою, а добутком різних функцій, одночасно залежних від двох координат. Практичне значення. Отримані залежності зручно застосовувати для спрощення, що дозволяє лінеарізувати граничні умови. Зіставлення отриманих результатів з рішеннями інших авторів показує, що представлене рішення після нескладних перетворень можливо спростити та розглядати отримане рішення як більш узагальнене. Ключові слова: механіка суцільного середовища, метод аргумент функцій, граничні умови, співвідношення Коші-Римана, інтенсивність дотичних напружень, полярні координати.