n-Widths in Approximation Theory

Pinkus, Allan

doi:10.1007/978-3-642-69894-1

Cited by 717 publications

(560 citation statements)

References 1 publication

Supporting

Mentioning

510

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…This might seem to contradict the well known result that the highest possible rate of convergence with piecewise linear elements is O(h), which is proved using the theory of N -widths (see, e.g., [14]) and a saturation theorem (see, e.g., [9]). But the theory of N -widths is concerned with the worst possible case, and saturation theorems assume sufficient smoothness, so there is no contradiction.…”

Section: Remarkmentioning

confidence: 89%

Can a finite element method perform arbitrarily badly?

1999

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. In this paper we construct elliptic boundary value problems whose standard finite element approximations converge arbitrarily slowly in the energy norm, and show that adaptive procedures cannot improve this slow convergence. We also show that the L 2 -norm and the nodal point errors converge arbitrarily slowly. With the L 2 -norm two cases need to be distinguished, and the usual duality principle does not characterize the error completely. The constructed elliptic problems are one dimensional.

show abstract

Section: Remarkmentioning

confidence: 89%

Can a finite element method perform arbitrarily badly?

1999

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…set of basis functions Φ n e n b for the local behaviors F P , in the sense that Φ n e n b is sufficiently rich to describe the systems belonging to F P , with a relatively small number of statistically meaningful parameters. In LTI system identification, one approach to find appropriate model sets is based on the n-width concept (Pinkus, 1985), which was shown to result in appropriate model sets for robust modeling of linear systems (Mäkilä & Partington, 1993). Using this concept, Oliveira e Silva (1996), (Heuberger et al, 2005, Ch.…”

Section: Kolmogorov N-width For Obfsmentioning

confidence: 99%

Asymptotically optimal orthonormal basis functions for LPV system identification

2009

View full text Add to dashboard Cite

“…The bottom line for the reduced basis method is to exploit the (most often) rapidly decreasing N -width (see for instance [9]) of the set of all solutions {Φ(µ), µ ∈ D}.…”

Section: Reduced Basis Approximationmentioning

confidence: 99%

A reduced basis method applied to the Restricted Hartree–Fock equations

Maday¹,

Razafison²

2008

Comptes Rendus. Mathématique

View full text Add to dashboard Cite

In this Note, we describe a reduced basis approximation method for the computation of some electronic structure in quantum chemistry, based on the Restricted Hartree-Fock equations. Numerical results are presented to show that this approach allows for reducing the complexity and potentially the computational costs. RésuméDans cette Note, nous décrivons une méthode d'approximation par bases réduites pour les calculs de structureś electroniques en chimie quantique basées sur le modèle Restricted Hartree-Fock. Nous présentons des résultats numériques montrant que la méthode permet des réductions de complexité et potentiellement de coûts de calculs. Version française abrégéeNous considérons le calcul de l'état fondamentalélectronique d'une molécule composée de M noyaux de chargesélectriques z 1 , ..., z M situés en x 1 , ..., x M dans R 3 et de 2n eé lectrons. Sous l'approximation de Born-Oppenheimer et du modèle Restricted Hartree-Fock, le problème s'écrit comme le problème de minimisation (1). Leséquations d'Euler-Lagrange associéesà ce problème consistentà trouver (Φ, λ) ∈ (H 1 (R 3 )) ne ×R ne(ne+1)/2 satisfaisant (2). Dans cette Note, nous proposons une méthode de bases réduites pour l'approximation de ceséquations. En posant µ ≡ (x 1 , ..., x M ), où le paramètre µ ∈ D ⊂ R 3M , la méthode consiste tout d'abordà séléctionner unéchantillon de paramètres µ 1 , ..., µ N , ensuiteà calculer les solutions correspondantes Φ(µ k ) ≡ (ϕ 1 (µ k ), ..., ϕ ne (µ k )) et enfinà chercher une approximation d'une solution Φ correspondantà un nouveau paramètre µ comme une combinaison linéaire des Φ(µ k ), k = 1, ..., N . Comme (2) revientà résoudre un problème non linéaire aux valeurs propres, il y a ici deux approches possibles : l'approche mode par mode, c'est-à-dire, ne dépend pas de i. Il est important de remarquer queEmail addresses: maday@ann.jussieu.fr (Yvon Maday 1,2 ), razafison@ann.jussieu.fr (Ulrich Razafison 1 ).Preprint submitted to Elsevier Science nous cherchons les n e fonctions propres ϕ i (µ k ) associées aux n e premières valeurs propres rangées par ordre croissant.À cause de croisements possibles de valeurs propres, pour deux valeurs proches µ et µ * du paramètre, la fonction ϕ i (µ * ) peutêtre plus proche de ϕ i+1 (µ) que de ϕ i (µ) ; de même +ϕ(µ) et −ϕ(µ) sont des fonctions propres possibles. On propose donc tout d'abord une procédure pour classer et orienter les fonctions propres par similarité. L'approximation par bases réduites s'écrit ensuite sous la forme (3) où, comparant avec (2), on peut remarquer que nous n'avons imposé que les contraintes de normalité et, si ε = 1 les contraintes d'orthogonalité adjascentes. Les tableaux 1 et 2 montrent les résultats de meilleure approximation obtenus sur la molécule d'eau par les deux approches de la méthode, la solution approchée Φ N (µ) est obtenu par la projection de Φ(µ) sur les espaces bases réduites. Ces résultats préliminaires montrent que l'approche vectorielle induit un plus faible nombre de degrés de liberté et on choisit cette approche pour...

show abstract

n-Widths in Approximation Theory

Cited by 717 publications

References 1 publication

Can a finite element method perform arbitrarily badly?

Can a finite element method perform arbitrarily badly?

Asymptotically optimal orthonormal basis functions for LPV system identification

A reduced basis method applied to the Restricted Hartree–Fock equations

Contact Info

Product

Resources

About