Mock-Cebyshev Noktalarında Vandermonde Matrisinin Bir Uygulaması: Kovid-19 Vaka Tahmini

Abstract

ÖzBirbirinden farklı interpolasyon noktalarında (veya nodlarında) verilen datalar kullanılarak, polinom interpolasyon problemi monomial bazlar ile ifade edilebilir. Bu ifade, Vandermonde matrisi ile beraber bir lineer denklem sistemi oluşturur. Reel sayılarda verilen interpolasyon noktaları için bu noktaların sayısı çok küçük değilse; Vandermonde matrisi genel olarak kötü durumludur ve bu kötü durumluluk bu matris ile çalışmanın zorluklarından biridir. Bu kötü durumluluğun derecesi, interpolasyon noktalarının dağılımına bağlı olarak epeyce farklılık gösterebilir. Bu bağlamda, noktalarının dağılımı eşit aralıklı olmaktan epey uzak olan Chebyshev nodlarının kullanılması genelde tavsiye edilmektedir. Ancak, bu takdirde, deneysel verilerin sadece eşit aralıklı noktalarda mevcut olması durumunda ne yapılacağı problemi ortaya çıkar. Bu durumda, polinom interpolasyonunda iyi bilinen şu sorun oluşur: ele alınan fonksiyon interpolasyon aralığının her yerinde analitik olsa bile, eşit aralıklı noktalardaki interpolasyon polinomları yakınsamayabilir. Bu sorunun sebebi, Runge olgusu olarak bilinir. İnterpolasyon işlemlerinin Chebyshev nodlarında en iyi sonucu verme avantajından faydalanarak, Runge olgusunun üstesinden gelmenin en iyi yollarından biri, polinom interpolasyonunda mock-Chebyshev noktalarını kullanmaktır. Eşit aralıklı noktaların genişçe bir kümesinden seçilen bu noktalar asimptotik olarak Chebyshev noktalarının dağılımını takip ederler. Bu noktaların hesaplanması konusunda, literatürde çok az sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmada, mock-Chebyshev noktalarını hesaplayan hızlı bir algoritma tanıtılmaktadır. Bu algoritma ile elde edilen noktalar kullanılarak, Kovid-19 vakalarını tahmin etmek için Vandermonde matrisinin bu noktalardaki bir uygulaması verilmektedir. İnterpolasyon noktalarının dağılımının Vandermonde matrisinin durumu açısından rolü ayrıca değerlendirilmiştir.

Mock-Chebyshev Polinom İnterpolasyonu

“…Burada oluşan lineer denklem sistemi ancak ve ancak ise, tek bir çözüme sahiptir. Birbirinden farklı sayıları için Vandermonde matrisinin determinantı, (5) eşitliğini sağlar. Burada, sayıları birbirinden farklı olduğu sürece, 'dır.…”

“…Ancak, belirtilen yöntem mertebeden işlem yükününe sahip olması nedeniyle, noktaların hesaplanması yüksek dereceden yaklaşımlar için zor olacaktır. Bir başka çalışmada ise eşit aralıklı noktaların sayısının serbestçe seçilebildiği durum için mock-Chebysev noktalarını hesaplayan hızlı bir algoritma [4,5] verilmiştir. Yakın zamanda yayınlanan ve mock-Chebyshev noktalarının özelliklerinin çalışmadaki [6]…”