Mixed graph colouring as scheduling multi-processor tasks with equal processing times

Abstract

A problem of scheduling partially ordered unit-time tasks processed on dedicated machines is formulated as a mixed graph colouring problem, i. e., as an assignment of integers (colours) {1, 2, …, t} to the vertices (tasks) V {ν1, ν2, …, νn}, of the mixed graph G = (V, A, E) such that if vertices vp and vq are joined by an edge [νp, νq] ∈ E their colours have to be different. Further, if two vertices νp and νq are joined by an arc (νi, νj) ∈ A the colour of vertex νi has to be no greater than the colour of vertex νj. We prove that an optimal colouring of a mixed graph G = (V, A, E) is equivalent to the scheduling problem GcMPT|pi = 1|Cmax of finding an optimal schedule for partially ordered multi-processor tasks with unit (equal) processing times. Contrary to classical shop-scheduling problems, several dedicated machines are required to process an individual task in the scheduling problem GcMPT|pi = 1|Cmax. Moreover, along with precedence constraints given on the set V {ν1, ν2, …, νn}, it is required that a subset of tasks must be processed simultaneously. Due to the theorems proved in this article, most analytical results that have been proved for the scheduling problems GcMPT |pi = 1|Cmax so far, have analogous results for optimal colourings of the mixed graphs G = (V, A, E), and vice versa.

Оптимальное По Быстродействию Расписание Обслуживания Требований С Прерываниями Операций Как Оптимальная Раскраска Смешанного Графа

“…Рассмотрим задачу G c M P T |p ij = 1|C max , которая эквивалентна задаче поиска оптимальной раскраски c(G) смешанного графа G = (V, A, E), как установлено в [24].…”

“…Теорема 4 [24]. Допустимое расписание для задачи G c M P T |p ij = 1|C max на смешанном графе G = (V, A, E) существует тогда и только тогда, когда ориентированный подграф (V, A, ∅) смешанного графа G = (V, A, E) не содержит ни одного контура со смежными вершинами подграфа (V, ∅, E).…”

“…В [24, c. 76] для задачи G c M P T |p ij = 1|C max доказана и следующая Л е м м а 1 [24]. Разрешимая задача…”

“…Следовательно, задачу G c M P T |p ij = 1|C max можно решать, как частный случай G c M P T |p ij = 1, pmtn|C max задачи G c M P T |[p ij ], pmtn|C max , представленный в теореме 5. Таким образом, вторая часть теоремы 5 непосредственно следует из леммы 2.Л е м м а 2[24]. Для любого раскрашиваемого смешанного графа G = = (V, A, E) существует задача G c M P T |p ij = 1|C max на том же смешанном графе G = (V, A, E), которая эквивалентна задаче поиска оптимальной раскраски c(G).Приведенное в статье[24, c. 78-79] доказательство леммы 2 содержит алгоритм, который для любого заданного раскрашиваемого смешанного графа G = (V, A, E) строит задачу G c M P T |p ij = 1|C max на том же смешанном графе G, поиск решения которой эквивалентен поиску оптимальной раскраски c(G) смешанного графа G = (V, A, E).…”