Mechanics with non‐Leibniz derivatives

Abstract

The non-Leibniz Hamiltonian and Lagrangian formalism for the certain class of dissipative systems is introduced in this article. The formalism is based on the generalized differentiation κ-operator with a non-zero Leibniz defect. The Leibniz defect of the introduced operator linearly depends on one scaling parameter. In a special case, if the Leibniz defect vanishes, the κ-operator reduces to the common differentiation operator. The new operator allows the formulation of the variational principles and corresponding equations of Lagrange and Hamiltonian types for dissipative systems. The solutions of some generalized dynamical equations are provided in closed form.

Non‐Leibniz Hamiltonian and Lagrangian formalisms for certain class of dissipative systems

“…The formalism is based on the generalized differentiation operator with a nonzero Leibniz defect. The Leibniz defect of the generalized differentiation operator linearly depends on one scaling parameter . In a special case, if the scaling parameter turns to one, the Leibniz defect vanishes, and a generalized differentiation operator reduces to the common differentiation operator.…”

“…The Leibniz defect of the generalized differentiation operator linearly depends on one scaling parameter. 15 In a special case, if the scaling parameter turns to one, the Leibniz defect vanishes, and a generalized differentiation operator reduces to the common differentiation operator. The generalized differentiation operator allows the formulation of the variational principles and corresponding Lagrange and Hamiltonian equations.…”

Sobre cálculo fracionário e soluções da equação de Bessel

“…Segundo, para calcularmos a n-ésima derivada do produto f g é necessário apenas a diferenciabilidade de ordem n de cada uma das funções f e g, como exigido na hipótese. Verifica-se, entretanto, que estas propriedades não são trivialmente transferidas para o caso fracionário 26 (vide Eq. (2.124)) e, de fato, isto tem sido objeto de estudo de muitos pesquisadores ao longo dos anos.…”

“…Mais recentemente, há esforços voltados para a definição de operadores de diferen-ciação fracionária 28 que satisfaçam a "regra de Leibniz" (e.g., [26]) na forma…”

“…(2.101)) e foi concluído que Ainda, apresentamos a regra de Leibniz fracionária, que é uma generalização da regra de diferenciação do produto de duas funções. Convém ressaltarmos que tal regra vem sendo estudada consistentemente há décadas, pelos trabalhos pioneiros de [37,38,39,40,60] e mais recentemente os trabalhos de [26,54,59] e, certamente, ainda há espaço para a continuidade do estudo de tal regra visto que certas propriedades que são válidas para o caso inteiro não são trivialmente estendidas para o caso de ordem arbitrária tal como a simetria da expressão em Eq. (2.122), por exemplo.…”