Measures for graph integrity: a comparative survey

Abstract

Дан краткий обзор по детерминированным мерам целостности графов. Приводятся известные соотношения между этими мерами и оценки, выраженные через традиционные числовые параметры графа. Меры анализируются с точки зрения сложности вычисления и положенных в их основу моделей повреждения элементов графа, учёта объёма и последствий этих повреждений. Указан ряд открытых проблем.Ключевые слова: графы, целостность, прочность, число рассеяния, стойкость, степень разрушения, окрестная целостность, доминирующая целостность. ВведениеИзвестно, что в связном графе любые две несовпадающие вершины соединены хотя бы одной цепью. При удалении некоторого множества вершин или рёбер связность графа может быть нарушена. В зависимости от того, сколько и какие элементы удаляются, какими действиями по отношению к исходному графу сопровождаются удаления этих элементов, количественно по-разному может выглядеть результирующий граф с точки зрения числа и размера сформировавшихся компонент связности. Конечно, многое зависит и от структурных особенностей исходного графа. Для учёта и оценки всех этих факторов введено понятие целостности (или живучести) графа [23], которое является обобщением связности. Считается, что более целостным является тот граф, связность которого нарушается при удалении большего числа элементов и последствия этих удалений минимальные (например, результирующий граф имеет достаточно мощную по числу вершин компоненту связности или число компонент в результирующем графе относительно мало) [45]. Для измерения уровня целостности графа применяются количественные показатели, называемые мерами целостности.Исследования по количественной оценке целостности графов начались в 1927 г. с введения понятий вершинной и рёберной связности и доказательств теоремы Менгера [9]. Уже предложены и изучены многие детерминированные и вероятностные меры целостности. Эти меры главным образом различаются: моделью повреждения графа (какие элементы исходного графа удаляются; какими действиями по отношению к исходному графу сопровождаются удаления этих элементов; что представляет собой результирующий граф); моделью измерения объёма повреждений, то есть числа удаляемых элементов графа (учитывать или нет, и если да, то как); моделью учёта последствий повреждения графа (учитывать или нет, а если да, то как, через размер наибольшей компоненты связности графа, стоимость нанесенного ущерба или полученного выигрыша и т. п.).