Matching of Asymptotic Expansions of
                    Solutions of Boundary Value Problems

Ильин, Арлен Михайлович

doi:10.1090/mmono/102

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“…Le cas d'une seule inclusion aété largementétudié dans [8,6,7,9,3,4,1,5]. Ces travaux s'appuient sur la notion essentielle de profil, solution normalisée de l'équation de Laplace dans le domaine extérieur obtenu par blow-up de la perturbation (voir (4)).…”

Section: Version Française Abrégéeunclassified

“…The case of a single inclusion ω, centered at the origin 0 being either in Ω 0 or in Γ, has been deeply studied, see [8,6,7,9,3,4,1,5]. The techniques rely on the notion of profile, a normalized solution of the Laplace equation in the exterior domain obtained by blow-up of the perturbation, see (4).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Précisément le domaine Ω ε est défini par la relation (1), où les motifs ω ± , contenant l'origine, sont dilatésà l'échelle ε, et translatés en x ± ε = 0 ± η ε d, voir Figure 1. Notre objectif est de donner un développement asymptotique de la solution du problème aux limites (2) posé dans Ω ε .Le cas d'une seule inclusion aété largementétudié dans [8,6,7,9,3,4,1,5]. Ces travaux s'appuient sur la notion essentielle de profil, solution normalisée de l'équation de Laplace dans le domaine extérieur obtenu par blow-up de la perturbation (voir (4)).…”

unclassified

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On moderately close inclusions for the Laplace equation

Bonnaillie‐Noël¹,

Dambrine²,

Tordeux³

et al. 2007

Comptes Rendus. Mathématique

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The presence of small inclusions modifies the solution of the Laplace equation posed in a reference domain Ω0. This question has been deeply studied for a single inclusion or well separated inclusions. We investigate in this note the case where the distance between the holes tends to zero but remains large with respect to their characteristic size. We first consider two perfectly insulated inclusions. In this configuration we give a complete multiscale asymptotic expansion of the solution to the Laplace equation. We also address the situation of a single inclusion close to a singular perturbation of the boundary ∂Ω0. To cite this article: A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). RésuméInteractions entre inclusions relativement proches pour l'équation de Laplace. La présence de petites inclusions dans un domaine de référence Ω0 modifie la solution de l'équation de Laplace dans ce domaine. Les cas d'une inclusion isolée ou de plusieurs bien séparées ontété largementétudiés. Dans cette note, nous considérons le cas où la distance entre deux inclusions tends vers zéro mais reste grande par rapportà leur taille caractéristique. Nous donnons un dévelopement asymptotique multi-échelle complet de la solution de l'équation de Laplace dans la situation de deux inclusions parfaitement isolantes. Nous présentonségalement le cas d'une seule inclusion proche du bord ∂Ω0 qui est lui même perturbé. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).Email addresses: Virginie.Bonnaillie@bretagne.ens-cachan.fr (V. Bonnaillie-Noël), Marc.Dambrine@utc.fr (M. Dambrine), Sebastien.Tordeux@insa-toulouse.fr (S. Tordeux), Gregory.Vial@bretagne.ens-cachan.fr (G. Vial). Preprint submitted to the Académie des sciences 4 mai 2007Version française abrégéeSoit Ω 0 un domaine borné de R 2 . Pour ε > 0 suffisamment petit, on considère le domaine perturbé Ω ε obtenu en enlevantà Ω 0 deux inclusions de taille ε et séparées d'une distance 2η ε . Précisément le domaine Ω ε est défini par la relation (1), où les motifs ω ± , contenant l'origine, sont dilatésà l'échelle ε, et translatés en x ± ε = 0 ± η ε d, voir Figure 1. Notre objectif est de donner un développement asymptotique de la solution du problème aux limites (2) posé dans Ω ε .Le cas d'une seule inclusion aété largementétudié dans [8,6,7,9,3,4,1,5]. Ces travaux s'appuient sur la notion essentielle de profil, solution normalisée de l'équation de Laplace dans le domaine extérieur obtenu par blow-up de la perturbation (voir (4)). Exprimé en variable rapide x ε , le profil V 0 décrit le comportement local de la solution au voisinage de l'inclusion. La convergence du développement estétablie grâceà la décroissance de V 0à l'infini. Ainsi, dans le cas de conditions aux limites de type Neumann sur le bord de l'inclusion, le début du développement est donné par u ε (x) = u 0 (x) + εV 0 (x/ε) + r 1 ε (x), où u 0 est la solution de l'équation de Laplace dans Ω 0 et V 0 résout (4). Le reste satisfait r 1 ε H 1 (Ωε) = O(ε 2 ). Cetteétude...

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Section: Introductionmentioning

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On moderately close inclusions for the Laplace equation

Bonnaillie‐Noël¹,

Dambrine²,

Tordeux³

et al. 2007

Comptes Rendus. Mathématique

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“…In the case of the corresponding Cauchy problem posed on the unbounded domain (x, t) ∈ (−∞, ∞) × (0, ∞) with a smooth initial condition y(x, 0) = g(x), x ∈ (−∞, ∞), there will be an initial phase before the interior layer is fully formed [6]. After this initial phase, the solution always exhibits a sharp interior layer and the location of the center of this layer will vary with time.…”

Section: Introductionmentioning

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A linearised singularly perturbed convection–diffusion problem with an interior layer

O’Riordan

Quinn²

2015

Applied Numerical Mathematics

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A linear time dependent singularly perturbed convection-diffusion problem is examined. The convective coefficient contains an interior layer (with a hyperbolic tangent profile), which in turn induces an interior layer in the solution. A numerical method consisting of a monotone finite difference operator and a piecewise-uniform Shishkin mesh is constructed and analysed. Neglecting logarithmic factors, first order parameter uniform convergence is established.

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“…The mathematical theory of asymptotic analysis of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains, is considered in [6] and [10]. The method of compound asymptotic expansions in the framework of the asymptotic analysis leads to the asymptotic expansions of solutions and to the topological derivatives of the shape functionals as it is described in details, e.g., in the paper [12] for boundary value problems of linearized elasticity.…”

Section: Introductionmentioning

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Topological Derivatives in Plane Elasticity

Sokołowski

Żochowski

2009

IFIP Advances in Information and Communication Technology

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Abstract. We present a method for construction of the topological derivatives in plane elasticity. It is assumed that a hole is created in the subdomain of the elastic body which is filled out with isotropic material. The asymptotic analysis of elliptic boundary value problems in singularly perturbed geometrical domains is used in order to derive the asymptotics of the shape functionals depending on the solutions to the boundary value problems. Our method allows for the asymptotic expansions of arbitrary order, since the explicit solutions to the boundary value problems are obtained by the method of elastic potentials. Some numerical results are presented to show the applicability of the proposed method in numerical analysis of elliptic problems.

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Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems

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On moderately close inclusions for the Laplace equation

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