Lower bounds for the maximum of the Riemann zeta function along vertical lines

Abstract

Abstract. Let α ∈ (1/2, 1) be fixed. We prove thatfor all sufficiently large T , where we can choose c α = 0.18(2α−1) 1−α . The same result has already been obtained by Montgomery, with a smaller value for c α . However, our proof, which uses a modified version of Soundararajan's "resonance method" together with ideas of Hilberdink, is completely different from Montgomery's. This new proof also allows us to obtain lower bounds for the measure of those t ∈ [0, T ] for which |ζ(α + it)| is of the order mentioned above.

On large values of L(σ,χ)

“…There are different methods to prove the existence of large values of the Riemann zeta function along vertical lines in the critical strip. Montgomery [24] used a method based on Diophantine approximation to prove that (1) max 2T ] log |ζ(σ + it)| ≥ C(σ)(log T ) 1−σ (log 2 T ) −σ .…”

“…Since the set Bad * σ (q) is relatively small, it is enough to bound individually R(χ) for χ ∈ G q . From the definition (31) and our choice of Y we immediately obtain (34) |R(χ)| 2 ≤ 2 2π(Y ) ≤ exp(2Y / log Y ) ≤ q a(σ) log 2+o (1) .…”

Sommes de Gál et applications

“…Dans , ce résultat est étendu à ce qui représente une amélioration d'un facteur lorsque . Le Théorème améliore donc les exposants obtenus par Bondarenko et Seip d'un nouveau facteur pour tout . (ii)Notre approche diffère sensiblement de celle de : à l'instar des méthodes développées dans [, ], nous relions le carré du maximum à la somme de Gál complète . L'introduction du carré explique que le gain obtenu n'est que la moitié de celui qui a été obtenu pour la somme de Gál soit .…”

“…Pour ce choix de l'ensemble M, nous avons doncV + 2 (q) q 3/2 L (q) 2+o(1) . )/V + 1 (q) L (q) 1+o(1) .Cela achève la démonstration du Théorème 1.5. Sommes Un lemme de localisation et coprimalitéLe résultat suivant est une conséquence facile de la construction employée pourétablir le Théorème 1.1.…”

GCD sums and sum-product estimates

“…Let A be a finite set of natural numbers, and let f : A −→ C be any function. For α ∈ (0, 1], the so-called GCD sum a,b∈A (a, b) 2α (ab) α f (a)f (b) (1) has received particular interest ( [10,9,2,5,6,11,8]), owing to its connections to the resonance method for finding large values of ζ(α + it) (for instance in [1,8]) and to equidistribution problems (for instance in [4]).…”