Lower bounds for the maximal Lyapunov exponent

Key, Eric S.

doi:10.1007/bf01061263

Cited by 30 publications

(21 citation statements)

References 7 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Estimates (4) improve well-known estimates for Lyapunov exponents [7] already for k = 1. The function F 1 (v) is quasiconcave on int R d + ; the function F 2 (e u ), where e u = (e u 1 , .…”

supporting

confidence: 63%

Invariant functionals for random matrices

Protasov

2010

Funct Anal Its Appl

View full text Add to dashboard Cite

A new approach to the study of the Lyapunov exponents of random matrices is presented. It is proved that, under general assumptions, any family of nonnegative matrices possesses a continuous concave positively homogeneous invariant functional ("antinorm") on R d + . Moreover, the coefficient corresponding to an invariant antinorm equals the largest Lyapunov exponent. All conditions imposed on the matrices are shown to be essential. As a corollary, a sharp estimate for the asymptotics of the mathematical expectation for logarithms of norms of matrix products and of their spectral radii is derived. New upper and lower bounds for Lyapunov exponents are obtained. This leads to an algorithm for computing Lyapunov exponents. The proofs of the main results are outlined.Lyapunov exponents (growth exponents of norms of random matrix products) have been extensively studied in the literature ([1]-[10]). In this work we introduce the notion of an invariant functional ("antinorm") for a family of random matrices and prove its existence under certain assumptions. This implies asymptotically sharp estimates for the meam growth rate of norms and spectral radii of matrix products, as well as new bounds for the Lyapunov exponent. For the sake of simplicity, we restrict our analysis to independent multipliers distributed on a finite set of matrices. Let η k = X k · · · X 1 , where all X i are independent and identically distributed on a set A = {A 1 , . . . , A m } of d × d matrices. Suppose that P{η 1 = A j } = p j > 0 and m j=1 p j = 1. It is well known that the quantity 1 k log η k converges almost surely as k → ∞ to the (maximal) Lyapunov exponent λ = lim k→∞ 1 k E log η k , where E is mathematical expectation ([1], [3]). We set A k = {A d k · · · A d 1 | A d j ∈ A , j = 1, . . . , k}.

show abstract

supporting

confidence: 63%

Invariant functionals for random matrices

Protasov

2010

Funct Anal Its Appl

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Одна из основных задач, связанных со случайными матричными произведе-ниями, -получение хороших оценок на показатель Ляпунова, а также эффек-тивных алгоритмов его приближенного вычисления (некоторые методы были разработаны в [16]- [20]). Задача эта чрезвычайно сложная и вряд ли может быть решена для всех распределений матриц.…”

Section: § 1 введениеunclassified

“…Для оценок снизу существует хорошо известный резуль-тат Кея (см. [16]), согласно которому для любого положительного однородного супермультипликативного (т.е.…”

Section: § 1 введениеunclassified

“…Условия, подобные a)-c) или более сильные, всегда налагаются на семейства неотрицательных мат-риц при исследовании показателей Ляпунова (см. [8]- [10], [16]). Они позволяют избежать различных вырожденных случаев.…”

Section: теорема 1 для любого семейства операторовunclassified

“…[16]). Если теперь применить теоремы 1 и 2, получаем, что в указан-ном классе функционалов F всегда найдется наилучший, который дает точную оценку.…”

Section: теорема 1 для любого семейства операторовunclassified

See 2 more Smart Citations

Инвариантные Функции Для Показателей Ляпунова Случайных Матриц

Протасов¹

2011

Матем. сб.

View full text Add to dashboard Cite

Инвариантные функции для показателейЛяпунова случайных матриц В работе представлен новый подход к изучению показателей Ляпуно-ва случайных матриц. Доказано, что любое семейство неотрицательныхПри некоторых стандартных ограничениях на матрицы данный функционал строго положителен, а соответствующий ему коэффициент равен максимальному показателю Ляпунова. В качестве следствия полу-чена асимптотика математического ожидания логарифма норм матрич-ных произведений, а также их спектральных радиусов. Другое следствие -новые двусторонние оценки на показатель Ляпунова и алгоритм его вы-числения для семейств неотрицательных матриц. Рассмотрены возмож-ные обобщения полученных результатов на более общие семейства матриц, а также ряд приложений и примеров.Библиография: 29 названий.Ключевые слова: случайные матрицы, показатели Ляпунова, ин-вариантные функции, вогнутые однородные функционалы, неподвижная точка, асимптотика.

show abstract