Lokale Algebren und Operatorprodukte am Punkt

Abstract

Bei der Formulierung von Modellen in der relativistischen Quantenphysik spielen punktartig lokalisierte Meßgrößen (Quantenfelder) eine zentrale Rolle. Sie bilden die begriffliche Grundlage für Feldgleichungen oder Wirkungsprinzipien, mit deren Hilfe sich spezielle Modelle auszeichnen und störungstheoretisch behandeln lassen.Die scharfe Lokalisierung der Quantenfelder im Ortsraum führt aufgrund der quantenmechanischen Unschärferelation jedoch zu Singularitäten, die eine mathematisch rigorose Formulierung erschweren. Insbesondere sind Produkte solcher Felder am gleichen Raum-Zeit-Punkt im allgemeinen nicht wohldefiniert, sondern weisen Divergenzen auf. Dies führt zu Problemen etwa bei der Behandlung nichtlinearer Feldgleichungen, von denen man erwartet, daß sie die Dynamik wechselwirkender Modelle bestimmen.Die vorliegende Arbeit stellt eine neue Methode zur modellunabhängigen Analyse der Eigenschaften von Punktfeldern vor. Ausgehend von einer Formulierung der Theorie durch Meßgrößen, die in endlichen Raum-Zeit-Gebieten lokalisiert sind (und damit keine Singularitäten aufweisen), untersuchen wir deren Kurzabstandsverhalten. Wir geben ein natürliches Phasenraumkriterium an, das uns erlaubt, den Feldinhalt der Theorie zu bestimmen, indem wir Punktfelder als Limiten immer besser lokalisierter Observablen konstruieren. Deren singuläres Verhalten wird analysiert.Dasselbe Phasenraumkriterium ermöglicht auch die Behandlung von Produkten der konstruierten Felder: Im Limes kleiner Abstände kann eine asymptotische Reihenentwicklung der Feldprodukte (Operatorproduktentwicklung) etabliert werden. Diese gestattet die Untersuchung von Normalprodukten und damit die Formulierung nichtlinearer Feldgleichungen im vorliegenden Rahmen.Das genannte modellübergreifende Kriterium wird beispielhaft in Modellen der freien Feldtheorie explizit hergeleitet und untersucht; die Ergebnisse lassen Extrapolationen auch auf den wechselwirkenden Fall zu.P (E) Σ(r) P (E)(2.1.10) 8 8 w w w w w w w w w w w 10 Die " Dualitäten" bzgl. der Topologie auf V * bezeichnen wir mit * . 1 G G (Bild R ψ) * ∼ = C als u * (sie ist eine stetige Linearform,

Coincidence arrangements of local observables and uniqueness of the vacuum in QFT

“…In order to construct a suitable family of functionals τ i , we recall some facts from [16,17]: given any pair of multi-indices μ + , μ − and an orthonormal basis {e i } ∞ 1 of Jinvariant eigenvectors in the single-particle space L 2 (R s , d s p), one defines a normal functional τ μ + ,μ − ∈ B(H) * by the following formula:…”

“…where A ∈ B(H) and α ± , α ± , α ± are multi-indices. It is shown in [16] that these functionals take the following values on the Weyl operators:…”