Local solvability of the -equation with boundary regularity on weakly q-convex domains

Abstract

We consider weakly q-convex domains with smooth boundary and show that the ∂-equation is locally solvable with regularity up to the boundary for smooth forms of degree (p, s) for s ≥ q.

Sur l'opérateur $\bar{\partial}$ et les fonctions différentiables au sens de Whitney dans un domaine $q$-convexe de $\mathbb{C}^n$

“…Ω est q-convexe s'il est q-convexe en tout point de ∂Ω. Si Ω est non borné, alors il est dit q-complet (au sens de Andreotti et Grauert) si et seulement si Ω admet une fonction d'exhaustion de classe C 2 dont sa forme de Levi admet au moins (n − q + 1) valeurs propres strictement positives en chaque point de Ω. Notons que q-complet au sens de Andreotti et Grauert pour un domaine borné à bord de classe C 2 est q-convexe (voir [6] page 144).…”

“…Soit Ω ⊂ C n un domaine q-convexe au voisinage de z 0 et à bord lisse de classe C 2 . Alors il existe un voisinage de z 0 dans Ω qui admet une base de voisinages de domaines strictement q-convexes (voir lemme 2.1 dans [6]).…”

“…Il existe une constante M > 0 telle que ε γ q ω 0 ω ε Mω 0 , pour tout 0 < ε ε 0 . Le théorème suivant nous donne une résolution locale du ∂ jusqu'au bord dans un domaine q-convexe de C n (Voir J.Brinkschulte [6]). Théorème 0.3.4…”

“…Pour avoir un résultat consernant une q-convexité qui contient tous les classes d'ouverts strictement q-convexes, nous avons utilisé les résultats locaux de J.Brinkschulte [6]. On obtient ainsi une version locale q-convexe du théorème principal dans [1] : Théorème 0.1.2 Soit Γ un fermé de C n possédant la propriété (λ ′ ) et z 0 ∈ Γ , alors il existe un système fondamental de voisinages U de z 0 dans C n et pour tout f ∈ W r (Γ ∩ Ū) , r q avec ∂f = 0 , il existe α ∈ W r−1 (Γ ∩ Ū ) telle que ∂α = f .…”

“…On obtient ainsi une version locale q-convexe du théorème principal dans [1] : Théorème 0.1.2 Soit Γ un fermé de C n possédant la propriété (λ ′ ) et z 0 ∈ Γ , alors il existe un système fondamental de voisinages U de z 0 dans C n et pour tout f ∈ W r (Γ ∩ Ū) , r q avec ∂f = 0 , il existe α ∈ W r−1 (Γ ∩ Ū ) telle que ∂α = f . Notre papier est organisé comme suit : la section 2 concerne le résultat global avec l'utilisation des résultats de Ho [4], la section 3 concerne la résolution locale en utilisant ceux de J. Brinkschulte [6] et enfin dans la section 4 on donne quelques exemples de ferrmés de C n vérifiant la condition (λ ′ ).…”