Local Minimal Curves in Homogeneous Reductive Spaces of the Unitary Group of a Finite von Neumann Algebra

Chiumiento, Eduardo

doi:10.1007/s00020-008-1629-y

Cited by 2 publications

(2 citation statements)

References 11 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Therefore in the case of p = 2 the classical theory of Riemann-Hilbert manifolds is not available, so it makes sense to ask about the local minimality of the geodesics of the Levi-Civita connection. In [6] was given an abstract sufficient condition in order that these geodesics are locally minimal. In this section we shall prove a partial result toward the minimality of geodesics for p even, under the hypothesis specified below.…”

Section: Minimality Of Geodesics In Omentioning

confidence: 99%

Homogeneous manifolds from noncommutative measure spaces

Andruchow

Chiumiento

Larotonda

2010

Journal of Mathematical Analysis and Applications

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

Let M be a finite von Neumann algebra with a faithful normal trace τ . In this paper we study metric geometry of homogeneous spaces O of the unitary group U M of M, endowed with a Finsler quotient metric induced by the p-norms of τ , x p = τ (|x| p ) 1/p , p 1. The main results include the following. The unitary group carries on a rectifiable distance d p induced by measuring the length of curves with the p-norm. If we identify O as a quotient of groups, then there is a natural quotient distanceḋ p that metrizes the quotient topology. On the other hand, the Finsler quotient metric defined in O provides a way to measure curves, and therefore, there is an associated rectifiable distance d O,p . We prove that the distancesḋ p and d O,p coincide. Based on this fact, we show that the metric space (O,ḋ p ) is a complete path metric space. The other problem treated in this article is the existence of metric geodesics, or curves of minimal length, in O. We give two abstract partial results in this direction. The first concerns the initial values problem and the second the fixed endpoints problem. We show how these results apply to several examples. In the process, we improve some results about the metric geometry of U M with the p-norm.

show abstract

Section: Minimality Of Geodesics In Omentioning

confidence: 99%

Homogeneous manifolds from noncommutative measure spaces

Andruchow

Chiumiento

Larotonda

2010

Journal of Mathematical Analysis and Applications

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Los resultados originales expuestos en este trabajo están basados en los artículos [ACL09], [Ch08], [Ch09a] y [Ch09b]. Los primeros dos artículos son acerca de geometría métrica en espacios homogéneos del grupo unitario de unálgebra de von Neumann finita.…”

Section: Principales Resultados Obtenidos En Este Trabajounclassified

Geometría en espacios homogéneos de grupos unitarios

Chiumiento¹

View full text Add to dashboard Cite

En este trabajo estamos interesados en propiedades geométricas de espacios homogéneos de grupos unitarios. Estos espacios homogéneos, construidos a partir de elementos de la teoría de operadores, son variedades de dimensión infinita donde definimos una métrica de Finsler natural. Principalmente, estudiaremos aspectos concernientes a la geometría métrica de estos espacios homogéneos, como la existencia y unicidad de curvas minimales o propiedades de la distancia rectificable, y en menor medida, estudiaremos aspectos diferenciales, como la presencia de una estructura reductiva. En variedades Riemannianas o de Finsler de dimensión finita, o más aún, en espacios métricos de longitud localmente compactos, el Teorema de Hopf-Rinow relaciona la existencia de curvas de longitud minimal con la completitud en la distancia rectificable. Dado que este teorema no es válido en variedades de dimensión infinita, resulta necesario desarrollar técnicas ad-hoc en cada ejemplo para hallar curvas minimales o analizar la completitud. En particular, en los espacios homogéneos tratados aquí, este tipo de cuestiones métricas generan diversos problemas, interesantes por sí mismos en la teoría de operadores y que permiten observar como funciona o falla la teoría finito dimensional de variedades. Estudiaremos dos tipos de espacios homogéneos. El primero, dentro de un marco general, donde la métrica de Finsler está inducida por la traza finita de un álgebra, y el segundo es un ejemplo concreto acerca de isometrías parciales, donde la métrica proviene de la norma de ideales de Banach.

show abstract

Local Minimal Curves in Homogeneous Reductive Spaces of the Unitary Group of a Finite von Neumann Algebra

Cited by 2 publications

References 11 publications

Homogeneous manifolds from noncommutative measure spaces

Homogeneous manifolds from noncommutative measure spaces

Geometría en espacios homogéneos de grupos unitarios

Contact Info

Product

Resources

About