Liouville Correspondences between Integrable Hierarchies

Abstract

Abstract. In this paper, we study explicit correspondences between the integrable Novikov and Sawada-Kotera hierarchies, and between the Degasperis-Procesi and Kaup-Kupershmidt hierarchies. We show how a pair of Liouville transformations between the isospectral problems of the Novikov and Sawada-Kotera equations, and the isospectral problems of the Degasperis-Procesi and Kaup-Kupershmidt equations relate the corresponding hierarchies, in both positive and negative directions, as well as their associated conservation laws. Combining these results with the Miura transformation relating the Sawada-Kotera and KaupKupershmidt equations, we further construct an implicit relationship which associates the Novikov and Degasperis-Procesi equations.

A simple-looking relative of the Novikov, Hirota-Satsuma and Sawada-Kotera equations

“…Although the link is less direct, integrable equations in the same hierarchy also share properties, such as conservation laws and soliton solutions. The fact that the Novkiov equation is related to the SK hierarchy was already established in [9], see also [16]. Although in this case aN has a complication not in the potential SK flow, in that in equation (1.7) only a single t derivative term appears, aN remains superficially simpler, so we would argue that aN is the right equation to study first.…”

Неизвестные Аспекты Преобразований Беклунда И Ассоциированное Уравнение Дегаспериса-Прочези

“…Чтобы получить локальные симметрии уравнения аДП из выражения для Q(θ), мы берем s (1) s (2) , s (3) , заданные тремя возможными асимптотическими разложениями для s при больших |θ|. Одно разложение уже определено в формуле (16), а остальные получаются из него путем замены в разложении θ 1/3 на ωθ 1/3 и ω 2 θ 1/3 , где ω = (−1 + √ 3i)/2 есть кубический корень из единицы. Подстановка этих асимптотических разложений в Q(θ) и разложение по обратным степеням θ 1/3 дают две первые нетривиальные локальные симметрии уравнения аДП:…”

“…раздел 3). Связь между уравнениями ДП и KK, в свою очередь, изучалась в недавней работе [16]. Одной из мотиваций к изучению ПБ уравнения аДП (5) является продвижение вперед в анализе решений уравнения ДП (3), многие из которых уже известны.…”

“…Отметим, что ПБ для уравнения СК известно [25]. Взаимосвязи уравнений ДП, КК, Новикова и СК с упором на гамильтоновы структуры изучались в [16].…”

Global weak solutions for the two-component Novikov equation

“…Eq. (2) was proved to be integrable since it enjoys Lax-pair and bi-Hamiltonian structure [14], and is equivalent to the first equation in the negative flow of the Sawada-Kotera hierarchy via Liouville transformation [16]. The Novikov equation 2also admits peaked solitons over the line R and unit circle S 1 [14,20], which can be derived by the inverse spectral method.…”