Limit theorems for the coefficients of the modified Borwein method for the calculation of the Riemann zeta-function values

A local limit theorem for coefficients of modified Borwein's method

“…In [1] we proved a local limit theorem for coefficients of modified Borwein's method. Note that throughout the paper, all limits, whenever unspecified, will be taken as n → ∞.…”

“…In [1] we introduced a modification of Borwein's method for the calculation of the Riemann zeta-function and proposed an asymptotic expression for the coefficients of the method. The asymptotic modification of the algorithm proved to be more than three times faster than the original one ( [1]). Borwein's method for calculating Riemann zeta-function is based on the alternating series convergence ( [4]).…”

Local limit theorem for coefficients of modified Borwein’s algorithm, proved by the ratio method

“…Darbuose [1,2] buvo pasiūlyta Borveino metodo Rymano dzeta funkcijos reikšmių skaičiavimui modifikacija bei įrodytos centrinė ir lokalinė ribinės teoremos metodo koeficientams. Algoritmo modifikacija, grindžiama koeficientų asimptotine išraiška, pasirodė daugiau nei tris kartus greitesnė, nei originalus algoritmas [2]. Borveino metodas Rymano dzeta funkcijos reikšmių skaičiavimui remiasi alternuojančios eilutės (2) konvergavimu [3].…”

“…Straipsnyje [2] buvo gauta lokalinė ribinė teorema modifikuoto Borveino metodo koeficientams, parodanti, kad a nk skaičiai yra asimptotiškai normalūs. Teorema buvo įrodyta "tiesiogiai", taikant Stirlingo formulę.…”

“…Teorema buvo įrodyta "tiesiogiai", taikant Stirlingo formulę. Tačiau asimptotinis normalumas gali būti išvestas trumpesniu ir subtilesniu keliu, pasitelkiant Prošano pasiūlytą santykio metodą [4].…”