Les Variétés sur le Corps à un Élément

Abstract

Une fantaisie récurrente de plusieurs mathématiciens ([22], [14], [19], [11], . . .) est l'existence d'un "corpsà unélément", noté F 1 , et d'une géométrie algébrique sur ce corps. On pense par exemple que le groupe des points de SL N dans F 1 est le groupe symétrique des permutations de N lettres, et que ces N lettres sont les points dans F 1 de l'espace projectif P N . Et l'on s'est aperçu depuis longtemps que des formules connues pour les points d'un groupe de Chevalley dans le corps fini F q , q > 1, donnent par la spécialisation q = 1 des formules vraies pour le groupe de Weyl correspondant. Par ailleurs, l'analogie entre corps de nombres et corps de fonctions inciteà chercher un corps de base pour la courbe affine Spec(Z). Enfin, il y a un intérêt croissant en géométrie arithmétique pour les variétés algébriques sur Z issues de constructions combinatoires sur les ensembles finis.Le but de cet article est de proposer une définition des variétés sur F 1 . Pour ce faire, on part de l'idée qu'une variété X (de type fini) sur F 1 doit avoir une extension des scalairesà Z, qui sera un schéma X Z de type fini sur Z. Les points de X (dans un anneau ad hoc) sont alors une partie, qu'on supposera finie, de l'ensemble des points de X Z . Par exemple, l'ensemble des points du groupe multiplicatif G m sur F 1 dans un anneau R fini et plat sur Z est l'ensemble (fini) des racines de l'unité contenues dans R.La variété X Z doitêtre entièrement déterminée par X (à isomorphisme unique près). Autrement dit, les variétés sur Z obtenues par extension des scalaires de F 1à Z possèdent une description "combinatoire finie". Notre résultat principal (Théorème 1) est que les variétés toriques lisses peuventêtre définies sur F 1 . Un autre exemple, inspiré de la théorie d'Arakelov, consisteà associerà tout réseau Λ ≃ Z d muni d'une norme hermitienne sur Λ ⊗ Z C une variété affine sur le corps F 1 . Cependant, nous n'avons pas su,à ce stade, définir sur F 1 les groupes de Chevalley et les variétés de drapeaux.Pour en revenirà la définition d'une variété X sur F 1 , il se trouve que la donnée des points de X ne suffit pasà déterminer la variété algébrique X Z sur Z. C'est pourquoi nous sommes conduitsà adjoindreà la donnée des points celle de fonctions,à savoir une C-algèbre a X , qui sera dans nos exemples une algèbre de Banach commutative. La définition de X permet aussi d'évaluer les fonctions de a X aux points de X. Dans le cas de G m par exemple, l'algèbre a Gm est celle des fonctions continues sur le cercle unité.

Torified varieties and their geometries over $${\mathbb{F}_1}$$

“…In this section we recall some notions of F 1 -geometry introduced by Soulé in [23], reformulated as in [3, Sect. 2.2].…”

“…By [23,Proposition 2], the functor R → T (Spec(R)) is a fully faithful embedding of the category R op into the category of affine S-varieties.…”

“…The essential image of the category of affine S-varieties is the full subcategory of S-varieties whose objects base extend to an affine scheme over Z (cf. [23,section 4.2,Prop. 3].…”

“…In recent years, a number of papers ( [2][3][4][5][6][7][19][20][21]23,25], …) on the topic have appeared, dealing mostly with the problem of defining a suitable notion of algebraic geometry over such an elusive object. Several non equivalent approaches have been tried, for instance Durov (cf.…”

“…Soulé proposed in [23] that varieties over F 1 should be functors that admit a base extension to Z. He gave a precise realization by considering functors from the category of flat rings of finite type over Z to the category of finite sets together with an evaluation, i.e.…”