Laws of large numbers for the frog model on the complete graph

Abstract

The frog model is a stochastic model for the spreading of an epidemic on a graph, in which a dormant particle starts to perform a simple random walk on the graph and to awake other particles, once it becomes active. We study two versions of the frog model on the complete graph with N + 1 vertices. In the first version we consider, active particles have geometrically distributed lifetimes. In the second version, the displacement of each awakened particle lasts until it hits a vertex already visited by the process. For each model, we prove that as N → ∞, the trajectory of the process is well approximated by a three-dimensional discrete-time dynamical system. We also study the long-term behavior of the corresponding deterministic systems.2010 Mathematics Subject Classification. 60K35, 60J10, 92B05.

Sistema de partículas no grafo completo com remoção ao pular

“…As técnicas usadas em Lebensztayn and Estrada [6] Defina lim t→∞ V t = V ∞ e lim t→∞ I t = I ∞ . Devido que o sistema exibe uma única solução, ι∞ = 1, concluímos que…”

“…Foi mostrado que a proporção de vértices para o modelo Pula Morre converge para zero em probabilidade, usando a técnica planteada em Lebensztayn and Estrada [6]. Por sua vez, foram usadas técnicas de martingais, inspiradas no trabalho Sudbury [9], para mostrar que o tempo de absorção é o p (N + 1).…”

Número de vértices visitados no modelo de sapos em grafos completos

“…Quando a vida das partículas ativas é fixa e finita, estudos como [7,16] focam em descobrir o menor valor 𝑡 ∈ ℕ 1 para que todo o grafo seja visitado, onde 𝑡 é a vida de cada partícula. Há também artigos como [3,25,28], que estudam os casos onde as partículas ativas morrem quando se movem para vértices já visitados anteriormente, buscando compreender o número de vértices visitados nesse processo.…”

“…De maneira similar para o grafo finito 𝐾 𝑛 , grafo completo com 𝑛 vértices, com configuração inicial de uma partícula por vértice, um parâmetro crítico 𝑝 𝑐 é definido em [3], tal que quando 𝑝 < 𝑝 𝑐 a proporção de vértices visitados converge em distribuição para zero no limite de 𝑛 → ∞ e quando 𝑝 > 𝑝 𝑐 essa convergência para zero não ocorre; além disso, em [3], também é demonstrado que 𝑝 𝑐 = 1/2. Sob essas mesmas condições, resultados parecidos são encontrados em [25].…”