Lattices Associated with Octonion Algebras

Abstract

Abstract-In this paper we propose a construction of lattices in dimension 8n via octonion orders over a totally real number field. To show the potential of this construction, we present rotated versions of E 8 , Λ 16 , the densest known lattices in these dimensions and a lattice with the same density of the Barnes-Wall lattice in dimension 32. Perspectives applications of these lattices based on octonion algebras are in lattice based cryptography and lattice coding for MIMO and MISO channels.

Construção de reticulados via álgebras de divisão e métodos eficientes para solução de sistemas lineares em redes distribuídas

“…Por último, na Seção 4.3 exibimos uma família de reticulados em dimensão 2 n , n ě 3 construída a partir de ordens dos octônios. Os resultados e exemplos deste capítulo foram publicados em [15] e apresentado em [25].…”

“…Da mesma maneira que os reticulados podem ser construídos a partir de ideais no anel de inteiros de K, denominados reticulados ideais [5], mostramos em [14,15] que é possível construir reticulados considerando ideais em uma ordem maximal dos quatérnios ou uma ordem dos octônios definidas sobre um corpo de números totalmente real. Motivados por [16], onde os autores mostram como obter reticulados ideais a partir de álgebras de quatérnios, mostramos neste trabalho como construir reticulados algébricos por meio de homomorfismos torcidos em álgebras de divisão dos quatérnios e dos octônios.…”

“…Exibimos também uma família destes reticulados em dimensão 2 n , n ě 3. Os resultados obtidos na primeira parte da tese foram apresentados em [23,24,25] e publicados em [14,15].…”