Kritische Verzweigungsprozesse mit allgemeinem Phasenraum, V

Abstract

EinleitungIn der vorliegenden Arheit werden in Gestalt von Theorem 15.1. liinreichende Redingungen an Y abgeleitet , unter denen jedes bezuglich x schauerinvariantegenugen. Offenbar ist H ein abgeschlossener linearer Unterraum von L f ( v ) . Fiir alle f aus H ergibt sich d. h. also Somit gilt (*) J f W W a ) = O VEH) * 3. Wir wollen nun zusatziich annehmen, v gehore zu X p ni'?fP". Wegen VCN;~" erhalten wir fur alle X aus 23 _ -~ lim \l(J)* ( I = --1 , * J)\\lim Illx * P I -I, * J [~+ ' ] /~~= O . f l --l -r k , -Genugt ein g aus L _ ( v ) der Bedingung l,(h): = J~( u ) g(a) v(du) = 0 (hE H ) , so folgt wegen (**) fiir alle f aus LI(v) W=J (4f)) ( a ) s(a) v(da) =J ( f + : # J ) ( a ) g(a) v(da) -$ ( f -Y J ) ( a ) g(n) v(da) . Liemant,/Matthes, Kritisrhe Verzweigungsprozesse 237 Setzen wir nun y : = J g(a) 9 0 so existiert ein 1 1 0 mit der Eigenschaft und ivir erhaiten O~~: = l v + y~2 2 1 v , J f ( a ) o ( d a ) = J f + ( a ) ( J * 0) ( d a ) -J f -( a ) ( J * 0) ( W = $ f ( a ) ( J * 0) @a). d. h. 0 liegt in N J . Wegen v c N p ist 0 und damit auch das signierte Ma13 y ein Vielfaches von v. Somit ist lg ein Vielfaches von Ii. Zusammenfassend konnen wir feststellen : Jede stetige Linearform auf L,(v), die auf dem abgeschlossenen linearen Unterraum H identisch verschwindet, ist ein Vielfaches von ll. In Anbetracht von (*) fallt daher H mit (h : hELI(v), li(h)= 0) zusammen. Es seien nun fl, f z irgendwelche nichtnegative %-mefibare reelle Funktionen auf A mit der Eigenschaft Mit Hilfe der oben abgeleiteten Charakterisierung von H konnen wir auf ffi) E H schliel3en. Nach 7.8. haben wir damit bewiesen, da13 (#"I) eine v-regulare Folge hildet. w $ f . ( a ) v ( d a ) =~ ( i = I , 2 ) . Als Gegenstiick zu Satz 9.1. ergibt sich (vgl. Abschnitt 4 in [I]).

Structure‐ and Convergence Theorems for Critical Branching Processes with General Phase Space, I

“…Under this assumption Q is J-invariant and belongs to NFg. Moreover [ 5 ] , [8], [l], [6] and [7] were includedin chapter 0.…”

“…Finally, in the proof of proposition 14.6. in [8] it was derived: 0.13. For each measure v in hT, the convergence takes place for all X in 23.…”