Kompaktifizierungen von Biadhärenzräumen – Beispiele

Abstract

EinleitungDiese Arbeit ist die Fortsetzung von [2], in der die Kategorie A der Biadharenzraumen konstruiert und ein Verfahren zur Konstruktion von Erweiterungsraumen (Vervollstandigungen) angegeben wurde. Hier sollen nun kompakte Biadharenzraume und kompakte Erweiterungen (Kompuktifizierungen) untersucht werden. Insbesondere werden wir Analogien zur STONE-CECH-Kompaktifiziemng topologischer Raume aufzeigen und diese als Spezialfall in unsere Theorie einordnen. SchlieBlich werden wir im Rahmen einer Beispielsammlung verschiedene Erweiterungstheorien aus der Literatur in unsere Theorie in [2] einordnen. Q 1. Kompaktheit von BiadharenzraumenAnalog zur HAusDoRm-Eigenschaft verwenden wir zur Definition der Kompaktheit eines Biadharenzraums ( E , Adh, @, di') das Approximationssystem di'. 1.1. Definition. Ein Biadharenzraum ( E , Adh, @, di') heil3t (@')-kompakt genau dann, wenn fur jedes a E @'E gilt Adh a =t= 0. Dieser Kompaktheitsbegriff ist eine natiirliche Verallgemeinerung der Kompaktheit topologischer Raume (siehe z. B. PREUSS [lo] Satz 7.1.3). Auch der Begriff superkompakt von GRIMEISEN in [ 71 ist ein Spezialfall unserer Definition. Mit Hilfe der folgenden Satze zeigen wir, daB viele Eigenschaften kompakter topologischer Raume hier auch gelten. Beweise uberlassen wir dem Leser, soweit es sich um einfache Anwendungen von Definitionen handelt . 1.2. Satz. Es seien ( E l , Adhi, Q i , 0:) und (E?, Adh,, di,, @; ) Biadharenzraurne und ( E , ,Adh ,, @; ) kompakt. f sei eine strukturtreue Abbildung von E l in E,. Ist dann @' ; = (di;)f (vergleiche [ 2 ) 2.11), so ist auch ( E x , Adh,, Q2, di;) kompakt. 1.3. Satz. Es sei ( E , Adh, @, 0') ein kompukter Biadharenzraum und A S E abgeschlossen in ( E , Adh, @, @') (siehe [2) 2.13). Dann ist der Unterraum ( A , AdhA, @ A , @:.i) Eon ( E , Adh, @, di') kompakt. Beweis. Es sei aE@>A. Nach [2] 2.9 gilt aE@'A; daher ist Adh a+U. jlE sei definiert wie in [2] 2.1.3. Dann gilt Adh a SAEA und, da A abgeschlossen ist, auch il,A A. Daraus folgt : AdhAa = Adh a n A = Adh a * 0. N\iZath. Sachr. 124 (1985) Satz. Es sei ( E , .4dh, @, a') ein H A U S J )~R I~' F~U U~Z und A S E . Der von A Destimmte Cnterrazcna sei kouipukt. D a m ist A abgeschlossen in ( E , Adh, @, @ I ) .Der nachste Satz zeigt. daf3 fur unseren Kompaktheitsbegriff auch eine Verallgemeinerung des Satzes von TYCHOKOFF fur eine grol3e Klasse schwacher Produkte erfullt ist. (Ei. ,4dh,, fDt, @ ) : ) L E I einp Faniilie von Biadhurenzraumen und ( E , Adh, @, @') ein whwachps Produkt uon (Ea, Adh,, Oa, @~) L c I (siehe [2] 2 . 5 ) . Satz. Es seiDann gelten ( 1 ) uncl (2).(1) 1.d (Ei, Arlh,. @&, @:) konipakt far jedes i~1 , so i s t auch ( E , Adh, @ % a') konzpu kt.( 2 ) Es gelte pr,@'E=@:E, fiir nlle i c l . 1st duizn ( E , Adh, @, 0') kompukt, so ist uuch ( E L , Adh,, @%, 0:) konipakt f?ir jedes ic I . Beweis. (1) beweist inan wie im Fall topologischer Raume. Bei ( 2 ) tritt die Voraussetzung pr,@'E= @iE, fur alle i c I anstelle der Konstruktion eines Filters im Produktraum. 5 2. Rompaktifizieruii,eii \-mi Biadharenzr...